七数培优竞赛讲座第3讲 创造的基石――观察、归纳与猜想
第三讲 创造的基石——观察、归纳与猜想
当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的．
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性．
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石．
例题 【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题)
(2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题)
思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；
（2）每个三角形数可用若干个数表示．
【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )． A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 (湖北省荆门市中考题)
思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键． 【例3】化简99?9?99?9?199?9 (第18届江苏省竞赛题) ?????????n个n个n个 思路点拨 先考察n?1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确．
【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行； ．
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅…，问当第二次甲和子在同一列时， 该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题)
1 / 7
七数培优竞赛讲座第3讲 创造的基石――观察、归纳与猜想
思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解．
注： 观察是解决问题的先导，发现往往走从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：
(1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．
归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律嘎证明通过归蚋所猜测的规律的正确性． 【例5】 图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图．
图 顶点数 边数 区域数
(a) 4 6 3
(b)
(c)
(d)
(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好)．
(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边?
( “华杯赛”决赛试题)
思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键．
学力训练
1．(1)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是 ．(2001早浙江省绍兴市中考题) 1 1 l 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (第1题)
(2)观察—列数：3，8，13，18，23，28，…依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是 ．(2003年金华市中考题)
2．如图是2002年6月份的日历．现用一矩形在日历中任意框出4个数 ，请用，一个等式表示a、b、c、d之间的关系： ．
(安徽省中考题)
2 / 7
七数培优竞赛讲座第3讲 创造的基石――观察、归纳与猜想
3．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．
通过观察可以发现；
(1)第4个图形中火柴棒的根数是 ；
(2)第n个图形中火柴棒的根数是 ． (江西省中考题)
4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是8时，输出的数据是( )． 输入 输出 A．
… … 1 1 22 3 4 174 4 175 … … 2 55 268888 B． C． D． (2003年重庆市中考题) 616563675，在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996．1990同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个． A．333 B．334 C．335 D‘336 (“希望杯”邀请赛试题)
6．图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )．
A．25 B．66 C．91 D．120
(2003年宁波市中考题)
7．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是l，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，问：这串数的前100个数中(包括第100个数)，有多少个偶数? (“华杯”赛试题) 8．自然数按下表的规律排列
(1)求上起第10行，左起第13列的数；
(2)数127应在上起第几行、左起第几列? (北京市“迎春杯”竞赛题) 9．(1)观察下列各式，你会发现什么规律? 3×5＝15， 而15=42一1，
5×7＝35， 而35＝62一l， … …
3 / 7
七数培优竞赛讲座第3讲 创造的基石――观察、归纳与猜想
1l×l3＝143， 而143=122一l
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 ． (2000年济南市中考题) （2）将l，?11111，，?，，?…按一定规律排成下表： 23456
从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是
11，第5行中从左向右第2数是?，912那么第199行中自左向右第8个数是 ，第1998行中自左向第11个数是 ．
(希望杯”邀请赛试题)
10．有一列数a1,a2,a3,a4,?a,an，其中
a1?6?2?1；
a2?6?3?2；
a3?6?4?3；
a4?6?5?4；
……
则第n个数an? ；当an?2001时，n＝ ． (江苏省竞赛题)
11．一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克”．有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示，那么，“学”字对面的字为 ． (重庆市竞赛题)
4 / 7
七数培优竞赛讲座第3讲 创造的基石――观察、归纳与猜想
12．用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘，正方形每边都等距离地摆n(n≥3)盆花．那么所需菊花的总盆数s与n的关系可以表示为 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
13．如果一个序列{ai}满足a1?2,an?1?an?2n (n为自然数)，那么a100是( ) ． 9900 B．9902 C．9904 10100 E．10102 (新加坡数学竞赛题) 14．将正偶数按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24 ．．．．．． ．．．．．． 28 26 根据上面排列规律，则2000应在( )．
A．第125行，第1列 B．第125行，第2列 C．第250行，第1列 D．第250行，第2列 (2001年湖北省荆州市中考题)
15．(1)设n为自然数，具有下列形式11?1155?55的数是不是两个连续奇数的积，说明????????n个1n个5理由．
(2)化简33?3?33?3?199?9，并说明在结果中共有多少个奇数数字? ?????????n个3n个3n个916．(1)图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块． 我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、
⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：
图 顶点数 棱数 面数
① 8 6 3
②
③
④
⑤
{2}观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是： ． (3)图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②~⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．
17．怎样的两个数，它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2＝2×2．其实这样的两个数还有很多，例如：3?33?3? 22 (1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗?
(2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究．
5 / 7
七数培优竞赛讲座第讲 创造的基石观察归纳与猜想
