正交编码与伪随机序列
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3. 正交编码与伪随机序列
在数字通信中,正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。
3.1. 正交编码
一、几个概念 1、互相关系数
设长为ｎ的编码中码元只取+１、-1，x和ｙ是其中两个码组
x?(x1,x2...xn)，y?(y1,y2...yn),其中xi,yi?(?1,?1)
则ｘ、y间的互相关系数定义为
1n?(x,y)??xiyi
ni?1如果用0表示+1、1表示-1，则
?(x,y)?A?D,其中A是相同码元的个数，D为不同码元的个数。 A?D2、自相关系数
1n自相关系数定义为:?x(j)??xixi?j，其中下标的计算按模n计算。
ni?13、正交编码
若码组?x,y?C，（C为所有编码码组的集合)满足?(x,y)?0,则称C为正交编码。即：正交编码的任意两个码组都是正交的。 例1：已知编码的4个码组如下:
S1?(?1,?1,?1,?1);S2?(1,1,?1,?1);S3?(1,?1,?1,1);S4?(1,?1,1,?1)
试计算S1的自相关系数、S1,S2的互相关系数。 4、超正交编码
若两个码组的互相关系数??0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任何两个码组间均超正交,则称这种编码为超正交编码。
例２:例1中取后三个码组,且去掉第１位构成的编码为超正交编码。 (０,1,1），（１,１,０)（1,0,１） 5、双正交编码
由正交编码及其反码便组成双正交编码。
例3:正交编码(1,1，1，１)（1,１,0，0）（１,０，０，1）（1,0,1,0） 反码为（0,０，０,0）（０,0,1，1）(0,1，１，0）(０,1,0,１） 双正交码中任意两个码组间的互相关系数为０或-1。
二、哈达玛矩阵
哈达玛矩阵的行、列都构成正交码组，在正交编码的构造中具有很重要的作用。 哈达玛矩阵的构成： 2阶哈达玛矩阵
?11? H2????1?1?4阶哈达玛矩阵
?H2H4???H2H2?… ?H2??哈达玛矩阵的所有行之间互相正交,所有列之间互相正交。
哈达玛矩阵经过行列交换后得到的矩阵仍然正交,沃尔什矩阵可以通过哈达玛矩阵按交变的次数排列顺序构成。 例4：
?1111??11?1?1?? W???1?1?11???1?11?1??3.2. 伪随机序列
伪随机序列的应用:通信系统的测试、保密通信、扰码等。 伪随机序列的产生：m序列、M序列、GOLD序列等。
3.2.1. ｍ序列
一、m序列的产生
1、最长线性反馈移位寄存器序列
m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称,它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。 举例说明：
输出输出图1A图1B图1A： 图１B 初始状态： １00０ １0００ 11001１00
1110 ０1１0 11１1 101１ 01１１ 0１01 1０１1 0010 0101 0001 101０ 1000 110１ 0１10 ０011 １00１ ０１０0 ０010 00０1 1000
可以看到图1Ａ的输出的周期为1５,除去全０外,图１A的输出是周期最长的的序列。 我们希望尽可能少的级数产生尽可能长的序列。一般说来,一个n级反馈移存器可能产生的最长周期为2n?1。反馈电路如何连接才能输出序列最长？是本节要讨论的问题。 2、m序列的特征方程
移存器的结构用特征方程表示：
f(x)?c0?c1x?...?cnx??cixi
ni?0n3、m序列的递推方程
ak??ciak?i
i?1n4、m序列的母函数
G(x)?a0?a1x?...?anx?...??akxk
nk?0?5、几个有用的定理用来构造m序列
定理一、f(x)G(x)?h(x),其中h(x)为次数低于f(x)的次数的多项式。
证明：G(x)?n?ak?0i?kx??kk?0?i??caii?1?1nk?ixk?ix??cixii?1ni?ak?0?k?ixk?i
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?cx(aii?1?ix?...a?1x??akxk)
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