2014年考研数学一真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列曲线有渐近线的是
（A）y?x?sinx （B）y?x?sinx
2（C）y?x?sin11 （D）y?x2?sin
xx【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于y?x?sin应该选（C）
2．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点x1,x2及常数0???1，恒有f?(1??)x1??x2??(1??)f(x1)??f(x2)，则曲线是凸的． 显然此题中x1?0,x2?1,??x，则(1??)f(x1)??f(x2)?f(0)(1?x)?f(1)x?g(x)，而
1y1，可知lim?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?x
x??xx??x??xxf?(1??)x1??x2??f(x)，
故当f??(x)?0时，曲线是凸的，即f?(1??)x1??x2??(1??)f(x1)??f(x2)，也就是f(x)?g(x)，应该选（C）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)?F(1)?0，且F\(x)?f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凸的，从而F(x)?F(0)?F(1)?0，即F(x)?f(x)?g(x)?0，也就是f(x)?g(x)，应该选（C）
1
３．设f(x)是连续函数，则
（Ａ）（Ｂ）
?dy?011?y?1?y2f(x,y)dy?
1?x2?dx?01x?10f(x,y)dy??dx??100f(x,y)dy
??10dx?1?x10f(x,y)dy??dx??100?1?x2f(x,y)dy
??21cos??sin?0?(Ｃ）
20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)dr??d????2f(rcos?,rsin?)dr
?（Ｄ）
?20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr??d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr
【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示
如果换成直角坐标则应该是
?0?1dx?1?x20f(x,y)dy??dx?011?x0（A），（B） f(x,y)dy，
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为
??20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr??d??2??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr．
应该选（D）
４．若函数
????(x?acosx?bsinx)dx?min??211a,b?R???sx?b1sinx? (x?acosx?bsinx)2dx，则a1co?（Ａ）2sinx （Ｂ）2cosx （Ｃ）2?sinx （Ｄ）2?cosx 【详解】注意
?????23?222，，xdx??cosxdx?sinxdx?xcosxdx?cosxsinxdx?0， ???????????????32???xsinxdx?2?，
?所以
23?22(x?acosx?bsinx)dx???(a?b2)?4?b ???32?22所以就相当于求函数a?b?4b的极小值点，显然可知当a?0,b?2时取得最小值，所以应该选（A）．
0a５．行列式
b0d00b0d2
a0c0c0等于
（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）ad?bc （D）?ad?bc 【详解】
22222222220aac00b00b0ac??adac0ba0b0c0dacbd
0cd??a0d0?b0c0d0dbd?bc??ad(ad?bc)?bc(ad?bc)??(ad?bc)2应该选（B）．
6．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则
?10???（?1?k?3，?2?l?3）?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等
?kl???于2，所以向量?1?k?3，?2?l?3一定线性无关．
?1??0??0?????????0,??1,??而当1??2??3?0?时，对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关，但
?0??0??0????????1,?2,?3线性相关；故选择（A）．
7．设事件A，B想到独立，P(B)?0.5,P(A?B)?0.3则P(B?A)?（ ）
（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4
【详解】P(A?B)?0.3?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)?0.5P(A)?0.5P(A)． 所以P(A)?0.6，P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.5P(A)?0.2．故选择（B）．
8．设连续型随机变量X1,X2相互独立，且方差均存在，X1,X2的概率密度分别为f1(x),f2(x)，随机变量Y1的概率密度为fY1(y)?
11(f1(y)?f2(y))，随机变量Y2?(X1?X2)，则 223
（A）EY1?EY2,DY1?DY2 （B）EY1?EY2,DY1?DY2 （C） EY1?EY2,DY1?DY2 （D）EY1?EY2,DY1?DY2 【详解】EY1?1??1?EX1?EX2??E(Y2)， y(f(y)?f(y))dy?12???22EY12?1??21122， y(f(y)?f(y))dy?EX?EX12122???22DY1?E(Y12)?E2(Y1)?111112EX12?EX2?E2(X1)?E2(X2)?E(X1)E(X2)22442
111112?D(X1)?D(X2)?E?X1?X2??D(X1)?D(X2)?DY244444故应该选择（D）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．曲面z?x(1?siny)?y(1?sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为 ．
【详解】曲面z?x(1?siny)?y(1?sinx)在点(1,0,1)处的法向量为zx,zy,?1|(1,0,1)?(2,?1,?1)，所以切平面方程为2(x?1)?(?1)(y?0)?(?1)(z?1)?0，即2x?y?z?1?0．
10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)? ． 【详解】当x??0,2?时，f(x)?2222???2(x?1)dx?x2?2x?C，由f(0)?0可知C?0，即
f(x)?x2?2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)?f(?1)?f(1)?1．
11．微分方程xy'?y(lnx?lny)?0满足y(1)?e的解为 ．
3【详解】方程的标准形式为
3dyyyy?ln，这是一个齐次型方程，设u?，得到通解为y?xeCx?1，将dxxxx2x?1初始条件y(1)?e代入可得特解为y?xe22．
12．设L是柱面x?y?1和平面y?z?0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分
?Lzdx?ydz? ．
4
dydzdzdxdxdy???【详解】由斯托克斯公式?Pdx?Qdy?Rdz???可知
L?x?y?z?PQR?Lzdx?ydz???dydz?dzdx???dxdy???Dxy??dxdy??．
22其中?:??y?z?0?x?y?122取上侧，Dxy?(x,y)|x?y?1．
22??13．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ．
【详解】由配方法可知
2f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x32?(x1?ax3)2?(x2?2x3)2?(4?a2)x3
由于负惯性指数为1，故必须要求4?a?0，所以a的取值范围是??2,2?．
2?2x?2,??x?2?14．设总体X的概率密度为f(x,?)??3?，其中?是未知参数，X1,X2,?,Xn是来自总
??0,其它体的简单样本，若C?Xi?1n2i是?的无偏估计，则常数C= ．
2【详解】E(X)?2????n?n2?522x5222C?Xi??Cn?，所以E?由于C?Xi是?的无偏估计，xdx??，??2223?i?1?i?1?2故Cn52． ?1，C?25n三、解答题
15．（本题满分10分）
?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．
21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
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2014年考研数学一真题与解析
