第九章 立体几何
9.4.6 多面体与旋转体的体积(一)
【教学目标】
1．理解祖暅原理，掌握柱体的体积公式．
2．会用柱体的体积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力． 3．通过教学，培养学生的数学应用意识． 【教学重点】 柱体的体积公式． 【教学难点】
用柱体的体积公式解决实际问题． 【教学方法】
这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物操作，让学生理解祖暅原理，在此基础上由长方体的体积公式推导一般棱柱、圆柱的体积公式，然后讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．
【教学过程】 环节 教学内容 在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积．因此有必要研究几何体的体积计算． 师生互动 师：生活中经常遇到关于物体体积的问题，这些问题与各种几何体的体积有关．这一节我们就来研究几何体的体积问题． 设计意图 由实际问题引发思考，让学生意识到数学来源于生活． 导 入 (1) 上左图是一个圆柱形的器皿，底面半径为3 cm，高度为8 cm，那么怎样计算它的容积呢？ (2) 上右图是一个长方体的游泳池，长是50 m，宽是21 m，深是2 m，那么这个游泳池能容纳多少立方水？ 几何体占空间部分的大小叫做它的体积． 1. 长方体体积公式 初中学过的计算长方体的体积公式为 V长方体＝abc 或 V长方体＝Sh． 如图，体积公式V＝Sh是否对其他两个几何体也成立？ 2．进行数学实验，引入祖暅原理 取一摞面积相等的课本堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状． 28
新 课
复习初中知识， 然后探究一般棱柱的体积公式． 师：底面积相等、高也相等的棱柱、圆柱，它们的体积是否一样？ 师：推斜以后体积变化了吗？ 通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维． 引发学生学习积极性，由数学基础模块 下册
新 课 生：几何体所占空间的大小不变． 师：推斜前后的两个几何体(前为长方体，后为平行六面体)还有什么共同之处？ 体积可看成由面积叠加而成，用一组平行平面生：高度没有改变，截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对每页纸张的顺序和面积应相等，则两空间图形的体积必然相等． 也没有改变． 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，师：这两个几何体的被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的体积是否相等？ 两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相生：相等． 等． 3．棱柱、圆柱的体积公式 如果一个棱柱、一个圆柱与一个长方体的高相 同(都为 h)且底面面积相等(都为 S)，那么当我们用 一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面 的面积都等于各自底面的面积S，根据祖暅原理可 知，棱柱、圆柱的体积与长方体的体积相等，即 V柱体＝Sh． 其中V柱体 表示柱体的体积，S表示柱体底面的面积， h表示柱体的高． 4．引例的解答 (1)因为 学生运用公式解决V圆柱＝Sh＝?×32×8＝72? (cm2)． 引例中的问题，教师巡所以圆柱形器皿的体积是72? cm2； 视指导． (2)因为 V棱柱＝Sh＝50×21×2＝2 100 (m3)， 因此这个游泳池能容纳2100立方水． 例1 有一个六角螺母毛坯，它的底面正六边在教师的引导下，形的边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 学生有多种方案解决例mm，求这个毛坯的体积． 1中的问题． 分析 六角螺母毛坯的体积是一个正六棱柱的 体积与一个圆柱的体积的差． 解 因为 V正六棱柱＝3×122×6×10 ?3 741 (mm3)， 4让学生总结归纳出祖暅原理的大致内容． 让学生体会中国数学的伟大，引发学生民族自豪感． 教师讲解的方法并不是唯一的解决方案，让学生体会完成一件事情可以从多个方面进行考虑 V圆柱 ＝?×52×10?785(mm3) ， 所以一个毛坯的体积为 V＝3741－785＝2 956 (mm3) ?2．96 (cm3)． 29
第九章 立体几何
新 课 练习 (1) 要求学生用第二种解决方法做例1：先求出六角螺母毛坯的底面面积，再用公式V＝Sh求出螺母毛坯的体积； (2) 已知长方体的铁块长、宽、高分别是2，4，8，将它溶化后铸成一个正方体形的铁块(不计损耗)，求铸成的铁块的棱长． 小 结 作 业 祖暅原理、柱体的体积公式． 教材P156练习A组第1，2题． 教材P156练习B组第1题（选做）． 30
数学基础模块 下册
9.4.6多面体与旋转体的体积(二)
【教学目标】
1．理解并掌握锥体的体积公式，掌握球的体积公式．
2．会用体积公式解决相关问题，培养学生应用公式运算的能力． 3．通过教学，培养学生的数学应用意识． 【教学重点】
掌握锥体的体积公式． 【教学难点】
运用锥体和球体的体积公式解决实际问题． 【教学方法】
这节课采用讲练结合法．教师引导学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，得到椎体体积公式，教材直接给出球体的体积公式，讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．
【教学过程】 环节 教学内容 1在仓库一角有一堆谷，呈圆4导 入 锥形（如下图），量得底面弧长为2 m，圆锥的高为1 m，这堆谷重约多少公斤（假设每立方米谷重720公斤，结果取整数部分）？ 1．锥体的体积 定理 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是 1 V锥体＝Sh． 3 例1 一块正方形薄铁板的边长为22 cm，以它的一个顶点为圆心边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积．（保留两位有效数字） ?解：扇形弧长是×22=11?． 2设所做圆锥筒的底面半径为r，则 2?r=11?， 得r=5.5． 因为圆锥筒底的母线长是22 cm，所以圆锥的高是 h=222－5.52?21.3 (cm)， 所以 1V圆锥=??5.52?21.3?6.7?102（cm3）． 3即圆锥的容积约为6.7?102 cm3． 31
师生互动 教师呈现问题情境． 学生结合实际生活经验讨论问题． 教师带领学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，给出锥体体积公式． 教师可引导学生通过折纸操作去发现“扇形铁板围成圆锥筒”的过程中，哪些量之间发生了等量转化． 设计意图 由实际问题引发思考，让学生意识到数学来源于生活． 新 课 渗透特殊到一般的思想． 体会平面图形与立体图形之间的相互转换，提高学生的空间想象能力． 第九章 立体几何
新 课 学生运用公式，解决引例中的问题． 1×2?r=2， 4 4求得r= m． ? 因此，谷堆的体积为 114241 V=×?×()×1=× m3. 43?3? 谷子的重量为 41720××≈306（公斤）． 3? 即这堆谷子重约306公斤． 2．球的体积 定理 如果球的半径是R，那么它的体积是 教师直接呈现球的体积公式． 4学生进行识记． V球＝?R3． 3 例2 有一种空心钢球，质量为142 g，测得外 3径等于5.0 cm，求它的内径(钢的密度为7.9 g/cm， 保留两位有效数字)． 解 设空心钢球的内径为2x cm，则钢球壳的体 积是 4534341253 V =?×()－?x =? (－x)． 32338 4125 由7.9×?(－x3)=142得 38 125142?3 x3=－?11.335， 87.9?4? x?2.25， 2x?4.5． 即钢球的内径约为4.5 cm． 练习二 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，它的各个学生在教师的引导顶点都在球O的球面上，问球O的体积． 下，运用公式进行练习，教师巡视指导． 棱锥，圆锥，球的体积公式． 练习一 解决导入时提出的问题． 解：因为底面弧长为2 m，所以 回扣引例，培养数学应用意识． 培养学生应用公式运算的能力． 小 结 32
9.4 多面体与旋转体-教学设计
