高中数学函数单调性的判断方法
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法
对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值x1,x2
（1）当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 减函数。
要证明函数f（x）在定义域内是减函数，设任意x1,x2?R且x1?x2，则
3322f(x1)?f(x)因为x1?x2 所以x2?x1?0，2)?x2?x1?(x2?x1)(x2?x1x2?x1，
在 上是
且在x1与x2中至少有一个不为
2x22?xx?x?1(x?120，不妨设x2?0，那么
x2232f(x)在 (??,??)上)?x?0，12所以f(x1)?f(x2)，故
24为减函数。 方法二：性质法
除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：
1. f(x)与c?f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
例如，已知f（x）在R上是减函数，那么-5f（x）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）
对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。
例如，求函数y=log4(x2－4x+3)的单调区间。
解：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由
u＞0,
2
u=x－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
2
当x∈(－∞，1)时，u=x－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复
2
合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
方法四：图像法
画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。 例如，画出函数y??x2?2|x|?1图象并写出函数的单调区间。
22????x?2x?1(x?0)??(x?1)?2(x?0) 即y??解：y??2 2?x?2x?1(x?0)?(x?1)?2(x?0)????如图所示，单调增区间为(??,?1]和[0,1]，单调减区间为[?1,0]和[1,??)
方法五：导数法
函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内， 如果f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增， 如果f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减。 例如，求函数f(x)?x4?2x2?3的单调区间。
解：函数f(x)的定义域为R，f?(x)?x?4x?4(x?1)(x?1)x
4令f?(x)?0，得?1?x?0或x?1．
∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,??)； 令f?(x)?0，得x??1或0?x?1，
∴函数f(x)的单调递减区间为(??,?1)和（0，1）．
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