文都考研数学寒假作业
第十四天 反常积分
一、概念、考点
积分限无限的反常积分审敛法1.
()上连续且f(比较审敛法1 设函数f(x)在区间[a,a>0x)≥0,+∞)
()若存在M>0及α>1,使得f(1x)≤
M,则反常积分αxM()若存在M>0及α≤1,使得f(则反常积分2x)≥α,
xα()若存在α>1,使得l则反常积分1imxf(x)存在,
x→+∞
α+∞
x)dx收敛;
∫f(
+∞
a无界函数反常积分审敛法2.
)比较审敛法1 设函数f(又f(x)在区间(a,b]上连续且f(x)>0,a+0=∞,()若存在M>0及α<1,使得f(1x)≤()若存在M>0及α≥1,使得f(2x)≥发散.
x)dx收敛;
∫f(
()若存在α≤1,,使得l或为+∞)则反常积分f(2imxf(x)存在(dx发散
∫x)
a+∞
()上连续且f(比较审敛法2 设函数f(x)在区间[a,a>0x)≥0,+∞)
x)dx发散.
∫f(
+∞
ax→+∞a收敛;
bM(),则反常积分x)dxf(αa bM(),则反常积分axbx)dx<≤f(α(ax-a) ∫∫ bα()若存在α<1,使得l则反常积分f(1im(x-a)x)存在,x)dx收敛;f(+ x→aa)比较审敛法2 设函数f(又f(x)在区间(a,b]上连续且f(x)>0,a+0=∞, 发散. α()若存在α≥1,,使得l或为+∞)则反常积分f(2im(x-a)x)存在(x)dxf(+ x→aa∫ b3.Γ函数 ∫ ()——形如1Γ函数的定义—()2Γ函数的性质:();ⅰ)Γ(α+1αΓ(α)=()ⅱ)Γ(n+1=n!;1(ⅲ)Γ()=π. 2∫ 0 +∞ xα-1-x即Γ(edx称为Γ函数,α)= ∫ 0 +∞ xα-1-xedx. 24 文都考研数学寒假作业 二、知识演练 判定下列各反常积分的收敛性,如果收敛,计算反常积分的值:1.()1()1 计算下列反常积分:2. ∫ 110 +∞ dx4.xdx()2()2 ∫ 121 +∞ dxx. 下列计算是否正确,试说明理由:3. ∫1-x∫∫∫ 1 2 . ∫xx-1 dx. 1 ()d11 dxx1??1π??()1rctan-a=-;2=-2=11+x1--x??-121?? 1+ x∫ ????????()因为2()3()1 +∞ Axxdxlimdx=0.=22 A→+∞-A1+x-∞1+x判断下列广义积分的敛散性,若收敛求其值:4. ∫ 1 dx=-2 1x+x+1- 1 x= t ∫ ∫ 1 dt,所以2 1-t+t+1 ∫ 11 dx=0; 1x+x+1-2 +∞ ∫ 计算6. ∫xe 计算5. +∞0 5 +∞0 dx2. x(2+x) x2 ()2 -xedx.4-x2 ∫x+∞ x-1 dx2 . 判断下列反常积分的收敛性:7.()1()3()5()7 dx. ∫ 0 +∞ xdx;42 x+x+1 2 ()2()4()6()8 ∫∫ 1101 +∞ 1 sin2dx; x∫x+∞1 3+∞ ∫1-xxdx4 xarctanxx;3d 1+x4 ∫∫ 21210 +∞ ; ∫x3dx;3 (lnx) 2 dx; 1+x|sinx| 1 x+1dx2 ; dx. x+2-3 25
文都考研数学寒假作业_第14天
