习题5. 1
1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为 a?b?ab koa?ak 其中a,b?R?,k?R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.
3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为
A?B?AB?BA
按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在P2?2中，W??A/A?0,A?P2?2?,判断W是否是P2?2的子空间.
习题5.2
1．讨论P2?2中
?a1??1a??11??11?A1??,A?,A?,A??2??3??4??
1111a11a????????的线性相关性.
2．在R4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标.其中
?0??1??2??1??0???????????01111????，?1=??，?2=??，?3=??，?4???
?0??0??3??0???1????????????1??1??1??0???1??23??11??0-1??1-1??10?3.在P2?2中求???在基?=，?=，?=，?=?????下的坐标. 1?2?3?4?4?711100000??????????4．已知R3的两组基
?1??1??1???????（Ⅰ）： ?1=?1?，?2=?0?，?3=?0?
?1??-1??1????????1??2??3???????（Ⅱ）：?1=?2?，?2=?3?，?3=?4?
?1??4??3???????（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；
?1???（2） 已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?0?,求?在基?1,?2,?3下的坐标；
?-1????1???（3） 已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?-1?,求?在基?1,?2,?3下的坐标;
?2???（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量?. 5．已知P[x]4的两组基
（Ⅰ）：f1(x)?1?x?x2?x3，f2(x)??x?x2，f3(x)?1?x，f4(x)?1
（Ⅱ）：g1(x)?x?x2?x3，g2(x)?1?x2?x3，g3(x)?1?x?x3，g4(x)?1?x?x2 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).
习题5.3
证明线性方程组
?3x1?x2?6x3?4x4?2x5?0??2x1?2x2?3x3?5x4?3x5?0 ?x?5x?6x?8x?6x?02345?1的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.
习题5.4
1． 求向量???1,?1,2,3? 的长度.
2． 求向量???1,?1,0,1?与向量???2,0,1,3?之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角
（1） ???1,0,4,3?，????1,21,,?1? （2） ???1,2,2,3?，???3151,,,?
（3）???1,1,1,2?，???31，，?1,0?
3． 设?，?,?为n维欧氏空间中的向量，证明: d(?,?)?d(?,?)?d(?,?).
习题5.5
1． 在R4中，求一个单位向量使它与向量组
?1??1,1,?1,?1?，?2??1,?1,?1,1?，?3??1,?1,1,?1? 正交.
?1??1??0???????2． 将R3 的一组基?1??1?,?2??2?,?3???1?化为标准正交基.
?1??1??1???????3．求齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4?3x5?0 ?x?x?x ?x?0235?1的解空间的一组标准正交基.
3． 设?1,?2 ,… ,?n 是n维实列向量空间Rn 中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明: A?1,A?2 ,… ,A?n 也是Rn 中的一组标准正交基． 5．设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明
?1?(2?1?2?2??3),?2?(2?1??2?2?3),?3?(?1?2?2?2?3)
也是V的一组标准正交基.
131313习题四 (A)
一、填空题
1．当k满足 时，?1??1,2,1?,?2??2,3,k?,?1??3,k,3?为R3的一组基. 2．由向量???1,2,3?所生成的子空间的维数为 .
3．R3中的向量???3,7,1?在基?1??1,3,5?,?2??6,3,2?,?3??3,1,0?下的坐标为 . 4. R3中的基?1,?2,?3到基?1???2,1,3?,?2???1,0,1?,?3???2,?5,?1?的过渡矩阵为 .
5. 正交矩阵A的行列式为 .
6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 7.已知?1??2,1,1,1?,?2??2,1,a,a?,?3??3,2,1,a?,?4??4,3,2,1?不是R4的基且a?1,则a满
足 .
二、单项选择题
1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A） V1??x1,0,?,0,xn?x1,xn?R （B） V2?（C） V3?????x,x,?,x?12nx1?x2???xn?0,xi?R? x1?x2???xn?1,xi?R?
??x,x,?,x?12n(D) V4???x1,0,L,0,0?x1?R?
?1???22.在P3?3中,由A???生成的子空间的维数为（ ）. ?3???(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3.已知?1,?2,?3是R3的基,则下列向量组( )是R3的基.(A) ?1??2,?2??3,?3??1 (B)?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 (C) ?1??2,?2??3,?1?2?2??3 (D) ?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3
4.已知?1,?2,?3是R3的基,则下列向量组（ ）不是R3的基.(A) ?1??2,?2??3,?1??3 (B) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (C) ?1??2,?2??3,?1??3 (D) ?1?2?2,?2?2?3,?1?2?35．n元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r, 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).
(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s (A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 (B) 1．已知R4的两组基 （Ⅰ）： ?1,?2,?3, ?4 （Ⅱ）：?1??1??2??3??4,?2??2??3??4,?3??3??4,?4??4 ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量. 2.已知?1,?2,?3是 R3 的基,向量组?1,?2,?3 满足?1??3? ?1??2??3,?1??2? ?2??3,?2??3? ?1??3(1)证明 ?1,?2,?3 是R3的基;(2)求由基 ?1,?2,?3 到基?1,?2,?3 的过渡矩阵;(3)求向量 ?? ?1?2?2??3 在基 ?1,?2,?3下的坐标. ?1??2??0??0?????????210043.设R的两组基?1,?2,?3,?4与?1???,?2???,?3=??，?4???，?0??0??1??2?????????002???????1??2100? ??1100?且由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为??0035???0012??（）求基1?1,?2,?3,?4；（2）求向量?? ?1??2??3?2?4在基?1,?2,?3,?4下的坐标.4. 证明f1(x)?1?x?x2,f2(x)?1?x?2x2,f3(x)?1?2x?3x2是线性空间P[x]3的一组基,并求f(x)?6?9x?14x在这组基下的坐标.2 ????5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = ?????120b?a0???01? 是正交阵. ??c0??（2/?T?）??T为正交矩阵. 6．设 ???是n维非零列向量, E为n阶单位阵, 证明:A?E?TT（a1,a2,L,an）7．设A?E?2??, 其中??, 若 ?T? = 1. 证明A为正交阵. 8. 设A,B 均为n 阶正交矩阵, 且A??B, 证明A?B?0.
(完整版)第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数
