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22． 1 二次函数的图象和性质
22． 1.1 二次函数
1． 设一个正方形的边长为 x，则该正方形的面积 y＝__x 2___，其中变量是 __x， y___，
__y___ 是 __x___的函数．
2． 一般地 ，形如 y＝ ax2＋ bx＋c(__a， b， c 为常数且 a≠0___) 的函数 ，叫做二次函数 ，其中 x 是自变量 ， a，b， c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项．
知识点 1：二次函数的定义
1． 下列函数是二次函数的是 ( C ) A． y＝ 2x＋ 1
C．y＝ x2＋ 2 D ． y＝ 0.5x － 2 2． 下列说法中 ，正确的是 ( B
)
B． y＝－ 2x＋ 1
A．二次函数中 ，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式
1
C．y＝ 2(x－ 1)(x ＋ 4)不是二次函数
S＝ π r2 中， S 是 r 的二次函数
D． 在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3． 若 y＝ (a＋ 3)x2－ 3x＋ 2 是二次函数 ，则 a 的取值范围是 __a≠－ 3___．
4．已知二次函数 y＝ 1－ 3x＋2x2，则二次项系数 a＝ __2___，一次项系数 b＝ __－3___，常数项 c＝ __1___．
5． 已知两个变量 x， y 之间的关系式为
y＝(a－ 2)x 2＋ (b＋2)x － 3.
(1)当 __a≠ 2___时， x， y 之间是二次函数关系；
(2)当 __a＝ 2 且 b≠－ 2___时， x， y 之间是一次函数关系．
6． 已知两个变量 x， y 之间的关系为 y＝ (m－ 2)xm 2－ 2＋x－ 1，若 x， y 之间是二次函数
关系 ，求 m 的值．
解：根据题意 ，得 m2－ 2＝ 2，且 m－ 2≠ 0，解得 m＝－ 2
知识点 2：实际问题中的二次函数的解析式 7．某商店从厂家以每件 为 ( B )
A． y＝－ 10x 2－ 560x＋ 7350 B． y＝－ 10x 2＋ 560x－ 7350 C．y＝－ 10x 2＋350x＋ 7350 D． y＝－ 10x2＋ 350x－ 7350
21 元的价格购进一批商品
，该商品可以自行定价． 若每件商品
y 元与售价 x 元的函数关系式
售价为 x 元，则可卖出 (350－ 10x) 件商品 ，那么商品所赚钱数
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1 2
8． 某车的刹车距离
若该车某次的刹车距离为
y(m) 与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 y＝ 20x (x＞ 0)，
5 m，则开始刹车时的速度为
( C
)
A． 40 m/s B． 20 m/s C．10 m/s
D． 5 m/s
9． (2014 ·安徽 )某厂今年一月份新产品的研发资金为
与上月相比增长率都是 为 y＝ __a(1＋ x)2___．
a 元，以后每月新产品的研发资金
y(元 )关于 x 的函数关系式
x，则该厂今年三月份新产品的研发资金
10． 多边形的对角线条数 d 与边数 n 之间的关系式为
__d＝ n － n___，自变量 n 的取
1
2
3
值范围是 __n≥ 3 且为整数 ___；当 d＝35 时，多边形的边数
2 2
n＝ __10___．
11． 如图，有一个长为 24 米的篱笆 ，一面利用墙 (墙的最大长度
隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽
a 为 10 米 )围成的中间
AB 为 x 米，面积为 S 平方米．
(1)求 S 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成面积为
45 平方米的花圃 ，AB 的长为多少米？
解： (1)S＝ x(24 － 3x) ，即 S＝－ 3x2＋ 24x (2)当 S＝ 45 时，－ 3x2＋ 24x ＝45，解得 x1＝3，
x2＝ 5，当 x＝ 3 时， 24－ 3x＝ 15＞ 10，不合题意 ，舍去；当 x＝5 时， 24－ 3x ＝ 9＜ 10，
符合题意 ，故 AB 的长为 5 米
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12． 已知二次函数 y＝ x2－ 2x － 2，当 x＝ 2 时， y＝__－ 2___；当 x＝ __3 或－ 1___时，
函数值为 1.
2
13．边长为 4 m 的正方形中间挖去一个边长为
x(m)(x ＜ 4)的小正方形 ，剩余的四方框的
2
面积为 y(m ) ，则 y 与 x 之间的函数关系式为 __y ＝ 16－ x (0＜ x＜ 4)___ ，它是 __二次 ___函数．
14． 设 y＝ y1－ y2， y1 与 x 成正比例 ， y2 与 x2 成正比例 ，则 y 与 x 的函数关系是 ( C ) A．正比例函数B．一次函数 C．二次函数
D ．以上都不正确
15．(2014 ·河北 )某种正方形合金板材的成本 y(元 )与它的面积成正比 ，设边长为 x 厘米 ，
当 x＝ 3 时， y＝ 18，那么当成本为 72 元时 ，边长为 ( A )
A．6 厘米 C．24 厘米
B． 12 厘米 D ．36 厘米
16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形
180 cm，高为 20 cm.设底面的宽为 质及其厚度等暂忽略不计
解：根据题意得
2
，抽屉底面周长为
x，抽屉的体积为 y 时，求 y 与 x 之间的函数关系式． (材
)
y＝ 20x(90 －x) ，
整理得 y＝－ 20x ＋1800x
17．某商店经营一种小商品 ，进价为 2.5 元，据市场调查 ，销售单价是 13.5 元时，平均
1 元，平均每天就可以多售出
100 件．假定每件商
，并
每天销售量是 500 件，而销售单价每降低
品降价 x 元，商店每天销售这种小商品的利润是 注明 x 的取值范围．
y 元，请写出 y 与 x 之间的函数关系式
解：降低 x 元后 ，所销售的件数是 (500＋ 100x) ，
则 y＝ (13.5－ 2.5－ x)(500＋ 100x) ， 即 y＝－ 100x2＋ 600x＋ 5500(0＜ x≤ 11)
18．一块矩形的草坪 ，长为 8 m，宽为 6 m，若将长和宽都增加
m2.
(1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)若使草坪的面积增加
2
x m，设增加的面积为 y
2
解： (1)y ＝x ＋14x(x ≥ 0)
(2)当 y＝ 32 时， x2＋ 14x＝ 32， x1＝ 2，x2＝－ 16(舍去 )，即长和宽都增加 2 m
32 m ，求长和宽都增加多少米？
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19． 如图，在△ ABC 中， ∠ B＝ 90° ，AB ＝ 12 mm， BC ＝ 24 mm，动点 P 从点 A 开始
沿边 AB 向 B 以 2 mm/s的速度移动 (不与点 B 重合 ) ，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s
的速度移动 (不与点 C 重合 )．如果 P，Q 分别从 A ，B 同时出发 ，设运动的时间为 x s，四边 形 APQC 的面积为 y mm2.
(1)求 y 与 x 之间函数关系式； (2)求自变量 x 的取值范围； (3)四边形 APQC 的面积能否等于 由．
172 mm2？若能 ，求出运动的时间；若不能
，说明理
解：(1)由运动可知 ，AP ＝ 2x，BQ ＝ 4x，则 y＝ BC·AB －
1 2
1 2
BQ·BP＝
1 2
3 243 12－ 3 4x(12
1 2
－2x) ，即 y＝ 4x2－ 24x ＋ 144 ∴四边形 APQC 的面积不能等于
172 mm2
(2)0＜ x＜ 6 (3)当 x＝ 172 时，4x2－ 24x ＋144＝ 172，解得 x1＝7，x2＝－ 1.又∵ 0＜x＜ 6，
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22． 1.2 二次函数 y＝ ax2 的图象和性质
1． 由解析式画函数图象的步骤是
2
__列表 ___、 __描点 ___、 __连线 ___．
2． 一次函数 y＝ kx ＋ b(k ≠ 0)的图象是 __一条直线 ___．
3．二次函数 y＝ ax (a≠ 0)的图象是一条 __抛物线 ___，其对称轴为 __y___ 轴，顶点坐标
为 __(0 ， 0)___．
4． 抛物线 y＝ ax2 与 y＝－ ax2 关于 __x___轴对称．抛物线 y＝ ax2，当 a＞ 0 时，开口向
__上 ___，顶点是它的最 __低 ___点；当 a＜ 0 时，开口向 __下 ___，顶点是它的最 __高 ___点，随着 |a|的增大 ，开口越来越 __小 ___．
知识点 1：二次函数 y＝ ax2 的图象及表达式的确定
2
A． (－2， 4)
B． (－ 2，－ 4)
C．(2， － 4) D． (4， 2)
2． 某同学在画某二次函数 － 3 36
－ 2.5 25
y＝ ax2 的图象时 ，列出了如下的表格：
－ 1
4
0 0
1 4
x y
2.5 25
3 36
(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是 (2)将表格中的空格补全．
__y ＝ 4x2 ___；
3． 已知二次函数 y＝ ax2 的图象经过点 A( －1， － 3)．
1
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．
1 2
(2)顶点坐标为 (0， 0)，对称轴是 y 轴
知识点 2：二次函数
2
y＝ ax2 的图象和性质
4． 对于函数 y＝ 4x ，下列说法正确的是 ( B )
B．当 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D． y 随 x 的增大而增大
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22.1二次函数的图象和性质（同步练习题）（含答案）
