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第三篇 立体几何
专题05 立体几何中最值问题
类型 利用侧面展开图求最值 利用目标函数求最值 利用基本不等式求最值 【典例1】【河南省非凡吉创联盟2024届调研】
如图，AB是圆柱的直径，PA是圆柱的母线，AB?3，PA?33，点C是圆柱底面圆周上的点.
对应典例 典例1 典例2 典例3
（1）求三棱锥P?ABC体积的最大值；
（2）若AC?1，D是线段PB上靠近点P的三等分点，点E是线段PA上的动点，求CE?ED的最小值. 【思路引导】
（1）三棱锥的高为定值，要根据三棱锥体积公式V?1Sh可知，要使得体积最大，就要底面积最大，又因3为边AB为定值，故当C到AB的距离取得最大值时，底面积最大，故此时棱锥的体积最大；
（2）反向延长AB至C?，使得C?,D,E三点共线，三点共线时，距离最短，则C?D为CE?ED最小值. 【详解】
（1）三棱锥P?ABC高h?33，AB?3，点C到AB的最大值为底面圆的半径
3， 2则三棱锥P?ABC体积的最大值等于?33?131393. ??3?224（2）将?PAC绕着PA旋转到PAC?使其共面，且C?在AB的反向延长线上，连接C?D，C?D与PA的交点为E，此时CE?ED最小，为C?D；
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由AB?3，PA?33，且易知PA?AB，由勾股定理知PB?6，因为AB?则?DBC??60o，BD?1PB，所以?APB?30o，22PB?4； 3C?B?C?A?AB?1?3?4，则?BDC?是边长为4的等边三角形，故C?D?4，所以CE?ED的最小值等
于4.
【典例2】【江西省新余市第四中学2024届月考】 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
?，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF2∥BC，AE =x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； （2）当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值． 【思路引导】
（1）由AEFD?平面EBCF，EF//BC//AD，可得AE?EF，进而由面面垂直的性质定理得到AE⊥平面EBCF，进而建立空间坐标系E?xyz，可得f?x??VD?BCF?VA?BFC的解析式，根据二次函数的性质，
uuv易求出f?x?有最大值；（2）根据（1）的结论平面BCF的一个法向量为n2??0,0,1?，利用向量垂直数量
积为零列方程组求出平面BDF的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D?BF?C的余弦值.
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解：（1）∵平面AEFD?平面EBCF,AE⊥EF,
0，2）B∴AE⊥面平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz．则A（0，，（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2）， E（0，0，0）∵AD∥面BFC，
111S?BFC?AE ??4??4?x??x 33228882???x?2???，即x?2时f?x?有最大值为．
3333uv（2）设平面DBF的法向量为n1??x,y,z?，∵AE=2, B（2，0，0），
所以f?x??VA-BFC＝
uuuvuuuvD（0，2，2），F（0，3，0）,∴BF???2,3,0?, BD?（－2，2，2）,
uvuuuv???n1?BD?0??x,y,z????2,2,2??0??2x?2y?2z?0vuuuv 则?u，即?，?x,y,z??2,3,0?0?2x?3y?0????n?BF?0????1?uv取x＝3，则y＝2，z＝1，∴n1??3,2,1?
uuv 面BCF的一个法向量为n2??0,0,1? uvuuvn1?n214uvuuv?uvuuv. 则cos
14n1?n2由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－【典例3】【北京市昌平区2024届模拟】
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1. 过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．
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（I）证明：AD∥平面EFGH；
（II） 设AB=2AA1=\在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点．记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.
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高考数学专题05 立体几何中最值问题(第三篇)(解析版)
