函数的奇偶性与周期性教学讲义
1．函数的奇偶性
偶函数 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义 都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)是偶函数 图象 特征 2．函数的周期性 (1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫作f(x)的最小正周期．
关于__y轴__对称 都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)是奇函数 关于__原点__对称
1．奇(偶)函数定义的等价形式
f?－x?
(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)?f(x)为偶函数；
f?x?f?－x?
(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1(f(x)≠0)?f(x)为奇函数．
f?x?2．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|； (2)若f(x＋a)＝
1
，则T＝2|a|； f?x?
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 3．函数图象的对称关系
a＋b
(1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；
2a＋b
(2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称．
2
1
1．(教材改编)函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝＋|x|中，偶函数的个数是__2__.
x2．(教材改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是__减__函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是__减__函数．
3．(教材改编)已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x－1，则f(－2)＝ 1－2 . 4．(教材改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log3(x2＋3)，则f(2019)＝__1__.
5．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是( B ) A．(a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))
B．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
[解析] ∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
6．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( B ) 1
A．－
31
C．
2
1
B．
31D．－
2
11
[解析] 由已知得a－1＋2a＝0，得a＝，又f(－x)＝f(x)得b＝0，所以a＋b＝.
335
7．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝( A )
21
A．－
21
C．
4
1
B．－
41D．
2
5111
[解析] ∵f(x)为周期函数且周期为2，∴f(－)＝f(－)，又f(x)为奇函数，∴f(－)＝－f()＝
2222111
－2×(1－)＝－.
222
考点1 判断函数的奇偶性——自主练透
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝(1＋x)1－x
； 1＋x
(2)f(x)＝x2－1＋1－x2； (3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
2??x＋x，x>0，
(4)f(x)＝?2
?x－x，x<0.?
1－x2
(5)f(x)＝；
|x＋2|－2
(6)(理)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断． 1－x
[解析] (1)由题意得≥0且x≠－1，
1＋x∴－1 2??x－1≥0， (2)由?得x＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0， 2 ??1－x≥0 ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． (4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断． 2??－1≤x≤1，?1－x≥0，由?得? x≠0.?|x＋2|－2≠0，?? 故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0.从而有f(x)＝＝ x＋2－2 1－x2 1－x2 ，x 这时有f(－x)＝ 1－?－x?2－x ＝－ 1－x2 ＝－f(x)，故f(x)为奇函数． x (6)(理)已知对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，不妨取x＝0，y＝0，则有2f(0)＝2[f(0)]2，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1. 取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)．又y∈R，所以函数f(x)是偶函数． 名师点拨 ? 判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论． (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称． (3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域) 考点2 函数的周期性——师生共研 例2 已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝2，求f(99)的值； (3)若当x∈[0,2]时，f(x)＝x，试求x∈[4,8]时函数f(x)的解析式． [解析] (1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期． 1313(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝. f?1?2 (3)当x∈[4,6]时，x－4∈[0,2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4. 当x∈(6,8]时，x－6∈(0,2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6. 又f(x)·f(x＋2)＝13， 1313.用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)，f?x?f?x＋2? 所以f(x)＝ 1313 ＝. f?x＋2?x－6 ?x－4，4≤x≤6， 所以解析式为f(x)＝?13 ，6 名师点拨 ? 本题存在规律性：若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则2a为f(x)的周期(a>0)；同理，f(x＋a)＝－f(x)11 或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，均可推得2a为f(x)的周期(a>0)． f?x?f?x?〔变式训练1〕 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝－f(x)．若当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2019)＝__3__；当0≤x≤1时，f(x)＝__－(x＋2)__；当－2≤x≤－1时，f(x)＝__x＋4__. [解析] 由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x)＝f(x＋4)，f(2019)＝f(3)＝3；当0≤x≤1时，f(x)＝－f(x＋2)＝－(x＋2)；当－2≤x≤－1时，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4. 考点3 函数性质的综合应用——多维探究 角度1 函数奇偶性与单调性结合 例3 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( C ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) B．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 1 (2)(2018·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) 3的x的取值范围是( A ) 12 A．(，) 3312 C．(，) 23 12B．[，) 3312D．[，) 23 [解析] (1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x. 作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示， 结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2
函数的奇偶性与周期性教学讲义
