湖北省各市历年中考真题
如图4中，作MR⊥DE于R．
在Rt△MRF中，FM=故满足条件的MF的值为
=或
， ．
25．（12.00分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC； （3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4； （2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0， 解得：x=﹣2或4， ∴C（4，0），
如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，
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∵S△PBO=S△PBC， ∴
∴OE=CF，
易得△OEG≌△CFG， ∴OG=CG=2，
设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M， tan∠PBM=∴BM=2PM， ∴4+x2﹣x﹣4=2x， x2﹣6x=0， x1=0（舍），x2=6， ∴P（6，8），
易得AP的解析式为：y=x+2， BC的解析式为：y=x﹣4， ∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2， ∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC， ∴∠ABE=∠ACB=45°， ∴△ABE∽△ACB， ∴∴∴AE=∴E（
， ，0）， ，
，
==， ，
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∵B（0，﹣4）， 易得BE：y=
，
则x2﹣x﹣4=x﹣4， x1=0（舍），x2=∴D（
，
）；
，
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3， ∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE， ∴
=
=
， m，CE=4
m，
设BE=2
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2， ∴3m2﹣8（m﹣2m1=2∴OE=4
m+8=0， ）（3m﹣2，m2=
，
）=0，
，
m﹣4=12或，
∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4， ∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4， ﹣x﹣4=x2﹣x﹣4， x=或0（舍） ∴D（，﹣
）；
，
）或（，﹣
）．
综上，点D的坐标为（
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湖北省十堰市2018年中考数学试卷（Word版，含答案）
