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f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10
推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类似
4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问： f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数?若是,求出它们的周期? f(x)的周期为2，--->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期为3，--->g(x+3n)=g(x)
2与3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)
f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为6的周期函数； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。
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第4讲----- 函数的对称专题(下)
第5讲----- 对称与周期的关系
『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系
知识点1:两个函数的图象对称性
性质1：y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 性质2：y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 性质3：y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 性质4：y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 性质5：y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点(a,b)对称。 性质6：y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?知识点2:单个函数的对称性 性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)时，函数y?f(x)的图象关于直线x?证明： a?b2a?b2对称。 对称。
性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)?c时，函数y?f(x)的图象关于点（证明： a?b2c2，）对称。
性质3：函数y?f(a?x)的图象与y?f(b?x)的图象关于直线x?证明：
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b?a2对称。
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知识点3:对称性和周期性之间的联系 性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求证：函数y?f(x)是周期函数。 证明： 性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)时，函数y?f(x)是周期函数。（函数y?f(x)图象有两个对称中心（a，的一个周期） 证明： c2）、（b，c2）时，函数y?f(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数 性质3：函数y?f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x?b（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b?a)。 证明：
推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x?a和点(b,0)(a?b)对称，则f(x)是周期函数，4(b?a)是它的一个周期
证明：
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性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x?a)?f(x?a),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足
f(x?a)?f(x?a)则f(x)的图象以x?a为图象的对称轴，应注意二者的区别)
证明：
性质5：已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x??f?x??b，则y?f?x?是以2a为周期的函数 证明：
『例题与习题』:
1例（2005高考2福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)?0，则方程f(x)?0在区间（0，6）
内解的个数的最小值是（ ） A．3
B．4
C．5
D．7
*2例 f(x)的定义域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008. 求 f(2008)的值。
3练 函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1f?x?，若f?1???5,则f?f?5???_______________。
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解：由
f?x?2??1f?x?得
f?x?4??1f?x?2??f(x)，所以
f(?5f)??(，则
f?f?5???f(?5)?f(?1)?1f(?1?2)??15
*4例 若函数f(x)在R上是奇函数，且在??1，0?上是增函数，且f(x?2)??f(x).
①求f(x)的周期；
②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x?2k?1轴对称, (k?Z); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；
解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则y?f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k?x,?y).P关于直线
x?2k?1对称的点为P2(4k?2?x,y)
∵f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y
∴点P2在图象上,图象关于直线x?2k?1对称.
③设1?x1?x2?2，则?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1 ∵f(x)在(?1,0)上递增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)??(*)
又f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2) . 所以：f(x2)?f(x1) ，f(x)在(1,2)上是减函数.
5例 已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数y?f(x)(?1?x?1)是奇函数.又知y?f(x)在
[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x?2时函数取得最小值?5.
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