2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号 得分 一 总分
一、解答题
1．
9
已知曲线f(x)=x?x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．
2
2
?f(x)=x?x
解：如图13，解方程组?得交点坐标为(0，0)，(1?a，a(1?a))
?g(x)=ax
∴D=?? =
1?a0
(x?x2?ax)dx
1?a
11
=?(1?a)·x2?x3?
3?0?2
1
1?a)3 (6
19
1?a)3= (62
(13)
依题意得 得a=?2．
2．计算下列向量场A的散度与旋度： (1)A?y2?z2,z2?x2,x2?y2； 解：0,2?y?z,z?x,x?y? (2)A?x2yz,xy2z,xyz2；
解：6xy,x?z2?y2?,y?x2?z2?,z?y2?x2? y??(3)A??x,,z?.
?yzzxxy?221?yz2z2x2x2y?111?,?,?? 解：??，
xyz?zyxzyx?yzzxxy???????
x23．一飞机沿抛物线路径y?( y轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O
10000处飞机速度v=200 m·s-1，飞行员体重G=70kg，求飞机俯冲至最低点即原点O处时，座椅对飞行员的反力. 解：y?x?0?0, y??x?0?1， 5000(1?y?2)3/2R??5000
y??飞行员在飞机俯冲时受到的向心力
mv270?2002F???560 (牛顿)
R5000故座椅对飞行员的反力
F?560?70?9.8?1246 (牛顿).
4．设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出：
C(q)=0.01q3－0.6q2+13q.
(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？
(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？ 解：(1) 利润函数为
L(q)?7q?0.01q3?0.6q2?13q??0.01q3?0.6q2?6qL?(q)??0.03q?1.2q?6令L?(q)?0，得 3q?120q?600?0 即 q?40q?200?0
得q?20?102(舍去) q?20?102?34.
此时， L(34)??0.01?34?0.6?34?6?34?96.56(元) (2)设价格提高x元，此时利润函数为
32222
L(x)?(7?x)(34?2x)?C(34)??2x2?20x?379.44
令L?(x)?0, 得x?5
L(5)?121.56?96.56
故应该提高价格，且应提高5元.
5．利用洛必达法则求下列极限： ⑴ limsin3xlnsinx; ⑵ lim;
π(??2x)3x?πtan5xx?2ex?x?1sinx?sina⑶ lim; ⑷ ; limx?0x(ex?1)x?ax?a1ln(1?)x?ax; ⑸ limn; ⑹ limnx?ax?ax???arccotxlnx⑺ lim; ⑻ limsinxlnx;
x?0?cotxx?0?mm
2019年考研高等数学模拟考试试题(含答案)
