第12章 双正交小波及小波包
我们在上一章给出了正交小波的构造方法。正交小波有许多好的性质，如
?j,k(t),?j,k(t)??(k?k')，?j,k(t),?j,k(t)??(k?k')，?j,k(t),?j,k(t)?0 ，
'''此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。Daubechies给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN，SymN，CoifN)。但是，正交小波也有不足之处，即?(t)和?(t)都不是对称的，尽管SymN和CoifN接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
?(t)和?(t)的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组H0(z)和H1(z)的不对称性。我
们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念
12.1 双正交滤波器组
现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。所谓“小波变换的需要”是指在用H0(z)对a0(z)分解时需要将H0(z)和
H1(z)的系数作时间上的翻转，即用的是H0(z?1)及H1(z?1)，或
h0(n)?h0(?n),h1(n)?h1(?n)，见(10.6.1)式及图10.6.2。将图10.6.2的正变换和图
10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的H0(z)和
?(z)，它们分别是H(z)和H(z)的对偶滤波器。有关“对?(z)和HH1(z)，而是H1010偶”的概念见1.6节，在下面的讨论中将涉及对偶滤波器的作用。
现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR的条件。由第七章关于两通道滤波器组的理论，我们有
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a1(n)↓2 ↑2 H1 (z-1 )
图12.1.1 双正交滤波器组
?(n)a1H0(z) a0(n) H0 (z-1) ?0(n)ad1(n)↓2 ↑2 ?(n)d1H1(z)
a1(n)?a0(n)?h0(2n)
??a0(k)h0(k?2n)?a0(k),h0(k?2n) (12.1.1a)
k d1(n)?a0(n)?h1(2n)
??a(k)h(k?2n)?01ka0(k),h1(k?2n) (12.1.1b)
?(n)?d'(n)?h?(n) ?0(n)?a1'(n)?ha011
?(n?2l)?d(l)h??a1(l)h?1?1(n?2l) 0ll (12.1.2)
将(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有
?(n?2l) ?0(n)??a0(k),h0(k?2l)ha0l
??(n?2l)
?a(k),h(k?2l)h011l
(12.1.3)
(12.1.1)式是用一组向量?h0(k?2n),h1(k?2n),n,k?Z?对a0(n)作分析，(12.1.3)式是
?(n?2l),h?(n?2l),n,l?Z对a0(n)作综合。(12.1.3)式还可表为 用一组对偶向量h01??353 / 49
?(n?2l)a(k) ?0(n)??h0(k?2l),ha00l
??(n?2l)a(k) ?h(k?2l),h110l(12.1.4)
显然，如果
?(n?2l)??(n?k) h0(k?2l),h0
(12.1.5a)
?(n?2l)??(n?k) h1(k?2l),h1(12.1.5b)
则
?0(n)?2a0(n) a从而实现了准确重建。(12.1.5)式的含意是，在图12.1.1中，同一条支路上的两个滤波器
?(n)的偶序号位移之间是正交的。但是该式没有涉及上下支路两?(n)或h1(n),hh0(n),h10个滤波器之间的关系。我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。下面的两个定理清楚地回答了该问题。
定理12.1 对图12.1.1所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号a0(n)，其准确重建的充要条件是： 及
*?(?)?H*(???)H?(?)?0 H0(???)H011(12.1.6a)
?(?)?H(?)H?(?)?2 H0(?)H011**
(12.1.6b)
证明：仿照(7.1.5)式的导出，有
?(z)?1H(z?1)H?0(z)?H1(z?1)H?1(z)A0(z) A002
???1?0(z)?H1(?z?1)H?1(z)A0(?z)H0(?z?1)H2??(12.1.7)
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?(z)分别是a0(n)和a?0(n)的z变换，A0(?z)是混迭分量。因此，为消除式中A0(z)、A0混迭失真，应有
?(z)?H(?z?1)H?(z)?0 H0(?z?1)H011(12.1.8a)
为保证系统的准确重建，应有
?(z)?H(z?1)H?(z)?2cz?k H0(z?1)H011(12.1.8b)
式中c和k均为常数。令c?1，k?0，(12.1.8)式对应的频率表示是：
*?(?)?H*(???)H?(?)?0 H0(???)H011*?(?)?H*(?)H?(?)?2 H0(?)H011于是定理得证。
对比图7.1.1的两通道滤波器组，其对应的PR条件是（见(7.1.5)式）：
H0(?z)G0(z)?H1(?z)G1(z)?0
H0(z)G0(z)?H1(z)G1(z)?2
(12.1.9a)
(12.1.9b)
将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用
?(z)代替了G(z)和G(z)，并在分析滤波器组中，用H0(z?1)、H(z?1)分?(z)、HH10110别代替了H0(z)和H1(z)。其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。 由(12.1.6a)式，有
?0?(?)??2?H1(?)??H?H0(?) ????? ????H(???)H(???)H(?)1?0??1??0?
可求出
(12.1.10)
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?0?(?)??H?H1(???)?2???????H(???)?
detH(?)0???H1(?)?
式中
(12.1.11)
detH(?)?H0(?)H1(???)?H1(?)H0(???)
(12.1.12)
?(z)是稳定的，detH(?)在????~?的范围?(z)和H显然，为了保证对偶滤波器H10?(z)是FIR的，detH(?)应取纯延迟的形式。 ?(z)和H内应该非零。为了保证H10仿照(7.2.16)式对G0(z)和G1(z)的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分析滤波器之间的关系： 或
??(???) H1(?)?e?j(2l?1)?H0
(12.1.13a)
?(?)?e?j(2l?1)?H?(???) H10
(12.1.13b)
?(?z?1) H1(z)?z?(2l?1)H0
(12.1.14a)
?(z)?z?(2l?1)H(?z?1) H10
(12.1.14b)
假定l?0，它们对应的时域关系是
?(1?n) h1(n)?(?1)n?1h0
(12.1.15a)
?(n)?(?1)n?1h(1?n) h10
(12.1.15b)
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第12章 双正交小波及小波包
