专题层级快练(三十)
第一次作业
1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为( )
A.①② C.①③ 【参考答案】:D
【试题解析】:由题意可知,在①②③三个条件下三角形均可唯一确定,通过解三角形的知识可求出AB.故选D.
2.(2019·广东中山上学期期末)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
B.②③ D.①②③
A.502 m C.252 m 【参考答案】:A
【试题解析】:由题意,得B=30°.由正弦定理,得50×1222
AC·sin∠ACBABAC
=,∴AB==
sinBsin∠ACBsinBB.503 m 252
D. m
2
=502 (m).故选A.
3.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为( ) A.1千米 C.2cos10° 千米
B.2sin10° 千米 D.cos20° 千米
【参考答案】:C
【试题解析】:由题意知DC=BC=1,∠BCD=160°,
∴BD2=DC2+CB2-2DC·CB·cos160°=1+1-2×1×1cos(180°-20°)=2+2cos20°=4cos210°,∴BD=2cos10°.
4.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( ) A.北偏东10° C.南偏东10° 【参考答案】:B
5.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是( ) A.5 海里/时 C.10 海里/时 【参考答案】:C
OO′OO′【试题解析】:如图,A,B为灯塔,船从O航行到O′,=tan30°,=tan15°,
BOAO
B.53 海里/时 D.103 海里/时 B.北偏西10° D.南偏西10°
∴BO=3OO′,AO=(2+3)OO′.
∵AO-BO=AB=10,∴OO′·[(2+3)-3]=10. ∴OO′=5.
5
∴船的速度为=10海里/时.
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6.(2019·湖南师大附中月考)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=( ) A.56 C.52 【参考答案】:D
B.153 D.156
【试题解析】:在△BCD中,∠CBD=180°-45°=135°.由正弦定理得
BC30
=,所以sin30°sin135°
BC=152.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=152×3=156.故选D.
7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( ) A.50 m C.120 m 【参考答案】:A
【试题解析】:设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=3h,
根据余弦定理得(3h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
8.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.
B.100 m D.150 m
(1)求AB的长度;
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(3=1.732,2=1.414) 【参考答案】:(1)7米
(2)小李的设计建造费用低,86 600元
AC2+BC2-AB282+52-AB2【试题解析】:(1)在△ABC中,由余弦定理,得cosC==.①
2AC·BC2×8×572+72-AB2
在△ABD中,由余弦定理,得cosD=.②
2×7×7由∠C=∠D,得cosC=cosD. ∴AB=7,∴AB长为7米.
(2)小李的设计建造费用较低,理由如下:
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S△ABD=AD·BD·sinD,S△ABC=AC·BC·sinC.
22∵AD·BD>AC·BC,∴S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC建造环境标志费用较低.
∵AD=BD=AB=7,∴△ABD是等边三角形,∠D=60°.∴S△ABC=103=10×1.732=
17.32.
∴总造价为5 000×17.32=86 600(元).
9.(2019·上海市徐汇区模拟)如图,某快递小哥从A地出发,沿小路AB→BC送快件到C处,平均速度为20公里/时,已知BD=10公时,∠DCB=45°,∠CDB=30°,△ABD是等腰三角形,∠ABD=120°.
(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处?
(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路AD→DC追赶,若汽车平均速度为60公里/时,问,汽车能否先到达C处? 【参考答案】:(1)不能 (2)能
【试题解析】:(1)由题意知,AB=10公里, 在△BCD中,由
BDBC
=,得BC=52公里, sin45°sin30°
快递小哥行走的路程为AB+BC=(10+52)公里, 10+52
其需要的时间t=×60≈51.21(分),
20
因为51.21>50,所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.
1
(2)在△ABD中,由AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cos120°=102+102-2×10×10×(-)=
2300,得AD=103公里, 在△BCD中,∠CBD=105°,由得CD=5(1+3)公里, 则汽车到达C处所需时间t′=
103+5(1+3)
×60+15=20+153≈45.98(分),
60CD52
=,
sin105°sin30°
因为45.98<51.21,所以汽车能先到达C处.
第二次作业
1.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( ) A.b=20,A=45°,C=80° C.a=14,c=16,A=45° 【参考答案】:C
B.a=30,c=28,b=60° D.a=12,c=15,A=120°
abc
【试题解析】:对于A,由A=45°,C=80°得,B=55°,由正弦定理==,得a=
sinAsinBsinCbsinA10220sin80°
=,c=,此时△ABC仅有一解,A不符合条件;对于B,由a=30,c=28,BsinBsin55°sin55°=60°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=844,可得b=2211,此时△ABC仅有一解,B不符合条件;对于D,由a=12,c=15,知a π12.(2016·课标全国Ⅲ,理)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( ) 43310 A. 10C.- 10 10 B.10 10 22 ac=,得sinC=sinAsinC =422 >,又c>a,故C>45°,由正弦函数的图像和性质知,此时△ABC有两解,故选72 310D.- 10 【参考答案】:C 1π2【试题解析】:设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin=c,则a 342329510 =c.在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c.由 222252292 c+c-c 2b+c-a210 余弦定理,可得cosA===-,故选C. 2bc1010 2×c×c 2 2 2 2 3.(2015·广东,文)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=则b=( ) A.3 C.2 【参考答案】:C B.22 D.3 3 且b 【试题解析】:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+12-6b?b2-6b+8=0?(b-2)(b-4)=0,由b 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,则cosC的最小值为( ) A.3 2 B.2 2
高2020届高2017级高考调研第一轮复习理科数学课件作业课时训练30
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