专题层级快练(三十)
第一次作业
1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案：
①测量A,C,b；②测量a,b,C；③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为( )
A.①② C.①③ 【参考答案】：D
【试题解析】：由题意可知,在①②③三个条件下三角形均可唯一确定,通过解三角形的知识可求出AB.故选D.
2.(2019·广东中山上学期期末)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB＝45°,∠CAB＝105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
B.②③ D.①②③
A.502 m C.252 m 【参考答案】：A
【试题解析】：由题意,得B＝30°.由正弦定理,得50×1222
AC·sin∠ACBABAC
＝,∴AB＝＝
sinBsin∠ACBsinBB.503 m 252
D. m
2
＝502 (m).故选A.
3.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为( ) A.1千米 C.2cos10° 千米
B.2sin10° 千米 D.cos20° 千米
【参考答案】：C
【试题解析】：由题意知DC＝BC＝1,∠BCD＝160°,
∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°,∴BD＝2cos10°.
4.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( ) A.北偏东10° C.南偏东10° 【参考答案】：B
5.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是( ) A.5 海里/时 C.10 海里/时 【参考答案】：C
OO′OO′【试题解析】：如图,A,B为灯塔,船从O航行到O′,＝tan30°,＝tan15°,
BOAO
B.53 海里/时 D.103 海里/时 B.北偏西10° D.南偏西10°
∴BO＝3OO′,AO＝(2＋3)OO′.
∵AO－BO＝AB＝10,∴OO′·[(2＋3)－3]＝10. ∴OO′＝5.
5
∴船的速度为＝10海里/时.
12
6.(2019·湖南师大附中月考)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD＝15°,∠BDC＝30°,CD＝30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB＝( ) A.56 C.52 【参考答案】：D
B.153 D.156
【试题解析】：在△BCD中,∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得
BC30
＝,所以sin30°sin135°
BC＝152.在Rt△ABC中,AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.故选D.
7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( ) A.50 m C.120 m 【参考答案】：A
【试题解析】：设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A＝60°,AC＝h,AB＝100,BC＝3h,
根据余弦定理得(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°,即h2＋50h－5 000＝0,即(h－50)(h＋100)＝0,即h＝50,故水柱的高度是50 m.
8.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD＝BD＝7米,BC＝5米,AC＝8米,∠C＝∠D.
B.100 m D.150 m
(1)求AB的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732,2＝1.414) 【参考答案】：(1)7米
(2)小李的设计建造费用低,86 600元
AC2＋BC2－AB282＋52－AB2【试题解析】：(1)在△ABC中,由余弦定理,得cosC＝＝.①
2AC·BC2×8×572＋72－AB2
在△ABD中,由余弦定理,得cosD＝.②
2×7×7由∠C＝∠D,得cosC＝cosD. ∴AB＝7,∴AB长为7米.
(2)小李的设计建造费用较低,理由如下：
11
S△ABD＝AD·BD·sinD,S△ABC＝AC·BC·sinC.
22∵AD·BD>AC·BC,∴S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC建造环境标志费用较低.
∵AD＝BD＝AB＝7,∴△ABD是等边三角形,∠D＝60°.∴S△ABC＝103＝10×1.732＝
17.32.
∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元).
9.(2019·上海市徐汇区模拟)如图,某快递小哥从A地出发,沿小路AB→BC送快件到C处,平均速度为20公里/时,已知BD＝10公时,∠DCB＝45°,∠CDB＝30°,△ABD是等腰三角形,∠ABD＝120°.
(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？
(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路AD→DC追赶,若汽车平均速度为60公里/时,问,汽车能否先到达C处？ 【参考答案】：(1)不能 (2)能
【试题解析】：(1)由题意知,AB＝10公里, 在△BCD中,由
BDBC
＝,得BC＝52公里, sin45°sin30°
快递小哥行走的路程为AB＋BC＝(10＋52)公里, 10＋52
其需要的时间t＝×60≈51.21(分),
20
因为51.21>50,所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.
1
(2)在△ABD中,由AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos120°＝102＋102－2×10×10×(－)＝
2300,得AD＝103公里, 在△BCD中,∠CBD＝105°,由得CD＝5(1＋3)公里, 则汽车到达C处所需时间t′＝
103＋5（1＋3）
×60＋15＝20＋153≈45.98(分),
60CD52
＝,
sin105°sin30°
因为45.98<51.21,所以汽车能先到达C处.
第二次作业
1.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( ) A.b＝20,A＝45°,C＝80° C.a＝14,c＝16,A＝45° 【参考答案】：C
B.a＝30,c＝28,b＝60° D.a＝12,c＝15,A＝120°
abc
【试题解析】：对于A,由A＝45°,C＝80°得,B＝55°,由正弦定理＝＝,得a＝
sinAsinBsinCbsinA10220sin80°
＝,c＝,此时△ABC仅有一解,A不符合条件；对于B,由a＝30,c＝28,BsinBsin55°sin55°＝60°,由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB,得b2＝844,可得b＝2211,此时△ABC仅有一解,B不符合条件；对于D,由a＝12,c＝15,知a π12.(2016·课标全国Ⅲ,理)在△ABC中,B＝,BC边上的高等于BC,则cosA＝( ) 43310 A. 10C.－ 10 10 B.10 10 22 ac＝,得sinC＝sinAsinC ＝422 >,又c>a,故C>45°,由正弦函数的图像和性质知,此时△ABC有两解,故选72 310D.－ 10 【参考答案】：C 1π2【试题解析】：设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a＝csin＝c,则a 342329510 ＝c.在△ABC中,由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac＝c2＋c2－3c2＝c2,则b＝c.由 222252292 c＋c－c 2b＋c－a210 余弦定理,可得cosA＝＝＝－,故选C. 2bc1010 2×c×c 2 2 2 2 3.(2015·广东,文)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝23,cosA＝则b＝( ) A.3 C.2 【参考答案】：C B.22 D.3 3 且b 【试题解析】：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA,即4＝b2＋12－6b?b2－6b＋8＝0?(b－2)(b－4)＝0,由b 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A＋cos2B＝2cos2C,则cosC的最小值为( ) A.3 2 B.2 2
高2020届高2017级高考调研第一轮复习理科数学课件作业课时训练30
