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2017届高三第一次联考
数 学（理科）试 题
命题学校：荆州中学 命题人：荣培元 审题人：邓海波 张云辉 马玮
第Ⅰ卷
一 .选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z?10i3?i (i为虚数单位)的虚部为 A.1 B. 3 C. ?3 D. 152. 已知集合A??x|2x?2?1?,B??xx2?2x?3?0?4 ，则(CRA)?B=
A.[?2,?1) B. (??,?2] C. [?2,?1)(3,??) D. (?2,?1)(3,??)
3. 下列选项中，说法正确的是
A.若a?b?0，则log1a?log1b
22B. 向量a?(1,m),b?(m,2m?1) (m?R)共线的充要条件是m?0 C. 命题“?n?N*,3n?(n?2)?2n?1”的否定是“?n?N*,3n?(n?2)?2n?1”
D. 已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)?f(b)?0，则f(x)在
区
间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 4. 实数a?0.33，b?log0.330.3，c?3的大小关系是
A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D. b?c?a 5. 函数y?x3x2的图象大致是
?1 A. B. C. D.
6. 已知???3x2dx,数列{aa4??a20n}是各项为正数的等比数列,则a的最小值为
3A. 23 B. 2 C. 63 D. 6
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.3??4 B. 4??2 C.
9?2?4 D. 11?2?4 ?8. 若实数x,y满足?x?y?3?x?y?3，则(x?1)2?y2的最小值为
??x?2y?6 A.22 B. 10 C. 8 D. 10
9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：
南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②
.
逐节多三分③，逐圈少分三④
. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远 此民谣提出的问题的答案是
(注：①五寸即0.5尺. ②一尺三即1.3尺. ③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于0.013尺.) A. 72.705尺 B. 61.395尺 C. 61.905尺 D. 73.995尺
?1x10. 已知直线y?kx(k?R)与函数f(x)???3?(?4) (x?0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数
?1??2x2?2 (x?0)k的取值范围是
A.(32,??) B. (??,?2)(2,??) C. (??,?2) D. (2,??)
11. 已知x?1是函数f(x)?ax3?bx?lnx(a?0,b?R)的一个极值点，则lna与b?1的大小关系
是
A. lna?b?1 B. lna?b?1 C. lna?b?1 D. 以上都不对 12. 已知f(x)?sin?x?cos?x (??14,x?R)，若f(x)的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2?,3?)，则?的取值范围是 A. [38,1111191553377111312][8,12] B. (4,12][8,4] C. [8,12][8,12] D. (4,4][98,1712] 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.
13. 已知向量a，b的夹角为
?3，且a?(a?b)?1，|a|?2，则|b|? . 14. 已知数列{a满足：a*3n}1?1,a2?2,an?2?an?1?an(n?N)，函数f(x)?ax?btanx，若
f(a4)?9，则f(a1)?f(a2017)的值是 .
15. 定义四个数a,b,c,d的二阶积和式??a b?c d?ad?bc. 九个数的三阶积和式可用如下方式化为二 ????a1 a2 a3?阶积和式进行计算：?b b b??a??b2 b3??b1 b3??b1 b?2?123??1??cc c??a2??c c??a3??c c?. 已知函数
?23?1 c2 c3???13??12??n 2 ?9?f(n)???n 1 n?(n?N*)，则f(n)的最小值为 .
???1 2 n??16. 如图所示，五面体ABCDFE中，AB//CD//EF，四边形ABCD，
ABEF，CDFE都是等腰梯形，并且平面ABCD?平面ABEF， AB?12,CD?3,EF?4，梯形ABCD的高为3，EF到平面ABCD 的距离为6，则此五面体的体积为 .
三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3sinCccosB?b.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记?BDC??，若
?2????，
CD?2,AD?5，a?855，求sin?与b的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)?Asin(?x??) (A?0,??0,???2)的部分图象如图所示. （Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）把函数y?f(x)的图象向右平移?4个单位后得到函数g(x)的图象，若函数h(x)?ax?12g(2x)?g(x)在(??,??)单调递增，求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知两数列{an*n} ，{bn}满足bn?1?3an(n?N)，3b1?10a1，其中{an}是公差大于零的等差
数列，且a2，a7，b2?1成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn.
20.(本小题满分12分)
一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产A、B两种奶制品，如用甲类设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电8千瓦时，可得4千克B制品. 根据市场需求，生产的A、B两种奶制品能全部售出，每千克A获利a元，每千克B获利b元. 现在加工厂每天最多能得到50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不
得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千克A制品，乙类设备的加工能力没有限制.其生产方案是：每天用x桶牛奶生产A制品，用y桶牛奶生产B制品(为了使问题研究简化，x,y可以不为整数).
（Ⅰ）若a?24，b?16，试为工厂制定一个最佳生产方案（记此最佳生产方案为F0）,即x,y分别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；
(Ⅱ) 随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波
动.若a?24(1?4?)，b?16(1?5??5?2)（这里0???1），其它条件不变，试求?的取值范围，使工厂当且仅当．．．．
采取（Ⅰ）中的生产方案F0时当天获利才能最大.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)?ln(x?2a)?ax, a?0. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）记f(x)的最大值为M(a)，若a2?a1?0且M(a1)?M(a2)，求证：a1a2?14; （Ⅲ）若a?2,记集合{x|f(x)?0}中的最小元素为x0,设函数g(x)?|f(x)|?x， 求证：
x0是g(x)的极小值点.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． 22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
?x?1?在直角坐标标系 xoy中，已知曲线C1:?cos????y?sin2??9(?为参数,??R），在以原点O为极点，x4轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线Csin(???22:?4)??2，曲线C3:??2cos?.
（Ⅰ）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；
（Ⅱ）设A,B分别为曲线C2，C3上的动点，求AB的最小值.
23. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a,a?R.
（Ⅰ）当a?2时，解不等式：f(x)?6?2x?5；
（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)?4的解集为[?1,7]，且两正数s和t满足2s?t?a，求证：1s?8t?6.
2017届高三第一次联考 数学(理科)试题 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C A D C C B D B C 13. 3 14. ?18 15. ?21 16. 57
17.（Ⅰ）由已知3sinCcosB?cb，得 3sinCcosB?sinCsinB，sinC?0，?sinBcosB?tanB?33，
0?B??，?B??6. ………………...4分
（Ⅱ）在?BCD中，CDBCasinB?sin?BDC?sin?, 85?2sin30?5sin?，?sin??255. .…………...8分
?为钝角，??ADC为锐角，?cos?ADC?cos(???)?1?sin2??55， 在?ADC中，由余弦定理，得b2?AD2?CD2?2AD?CDcos??5?4?25?2?55 ?5，所以b?5. …………...12分
18.（Ⅰ）由图可知，A?1，最小正周期T?2(5??2?4?4)?2???，???1. 又????4???2?2k?(k?Z),且|?|??，????24. ?f(x)?sin(x??4). ………...5
分
（Ⅱ）g(x)?f(x??4)?sinx, ………………...7分
则h(x)?ax?112g(2x)?g(x)?ax?2sin2x?sinx，
h?(x)?a?cos2x?cosx?2cos2x?cosx?1?a?2(cosx?194)2?8?a，
h(x)在???,???单调递增，?h?(x)?0恒成立 ，?h?(x)9min??8?a?0，
?a?98，即a的取值范围为[98,??). ………………...12分
19.（Ⅰ）设{an}的公差为d(d?0),
3b1?10a1,?3(1?3a1)?10a1,?a1?3.
又a2?a1?d?3?d，a7?a1?6d?3(1?2d)，b2?1?9a2?9(3?d)， 由a222，a7，b2?1成等比数列，得9(1?2d)?9(3?d)，d?0，?1?2d?3?d，d?2，
?an?3?(n?1)?2?2n?1. ………………...6分
（Ⅱ）因为a1，所以b?1)3nn?2n?n?1?(2n，
于是，S(1?5?32)?????(1?(2n?1)?3nn?(1?3?3)?)，
令T?3?31?5?32??????2n?1??3n ① 则3T?3?32?5?33??????2n?1??3n?1 ② ①?②，得 ?2T?3?31?2?32?2?33?????2?3n??2n?1??3n?1
?9?2?32?3n?11?3??2n?1?3n?1??2n?3n?1，? T?n?3n?1， 故Sn?1(1?3n?1n?n?n?3?n)． ………………...12分
20. 设工厂每天的获利为z元 . 由已知，得 z?3ax?4by,且
??12x?8y?480??x?y?50?3x?102，作出可行域如图所示（图中阴影区域）. ……3分 ??x?0,y?0（Ⅰ）z?3ax?4by?72x?64y，当z?72x?64y对应的直线过直线12x?8y?480与x?y?50的交点(20,30)时，z取最大值
3360. 即最佳生产方案F0为 x?20,y?30，工厂每天的最大获利
为3360元. …………… ...6分
(Ⅱ)为使z当且仅当x?20,y?30时取最大值，则直线z?3ax?4by的斜率?3a4b满足 ?128??3a4b??1，………………..8分 所以4a81?4?43?b?2，9?1?5??5?2?3，注意到1?5??5?2?0， 所以???40?2?4??1?0 ??8??1?0，?(?4)2?4?40?1?0?40?2?4??1?0恒成立； ?202，由 20?2?8??1?0，得 ?110???12，0???1，?0???12， 故?的取值范围为(0,12). ………………...12分
21.（Ⅰ）f?(x)?1(?a)(x?2a?1a)x?2a?a?x?2a，因为x??2a，a?0，由f?(x)?0，得 ?2a?x?1a?2a；由f?(x)?0，得 x?1a?2a； 所以，f(x)的增区间为(?2a,1a?2a)，减区间为(1a?2a,??). ………………...3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，M(a)?f(12a?2a)?2a?1?lna，………………...4分
?2a22221?1?lna1?2a2?1?lna2，?2(a2?a1)?lna2?lna21?lnaa, 12lna2a22 ?2a2?a1?lna2a2aaa11a2aa?4a1a2?(?1)?2ln2, ?4a1a2?, 12a1a1a2a1(a2aa?1)1a2 设h(t)?t?1?2lnt（t?1），则h?(t)?1?1t2?2t?(1?1t)2t?0， 所以，h(t)在(1,??)上单调递增，h(t)?h(1)?0，即t?1at?2lnt?0，因2a?1，故
12lna2 a2aaa1a?1a?2ln2?0,
?1 , 所以a11a2?. …... 8分 12a1(a2a4a?1a)12（Ⅲ）由(Ⅰ)可知，f(x)在区间(?2a,1a?2a)单调递增，又x??2a时，f(x)???. 易知，f(1?2a)?M(a)?2a2a?1?lna在(2,??)递增，M(a)?M(2)?7?ln2?0，
??2a?x?110a?2a，且?2a?x?x0时，f(x)?0； x0?x?a?2a时，f(x)?0.
?(a?1)x?ln(x?2a) (?2a?x?x0)?当?2a?x?1?a?2a时，g(x)????ln(x?2a)?(a?1)x (x1， 0?x?a?2a) 于是?2a?x?xa?1)?1110时，g?(x)?(x?2a?(a?1)?x,（所以，若能证明x0?0?2aa?1?2a，便能证明(a?1)?1x?2a?0）. 记H(a)?f(11a?1?2a)?2a2?a?1?1?ln(a?1)，则
0H?(a)?4a?1(a?1)2?1a?1，a?2， ?H?(a)?8?119?3?0，?H(a)在(2,??)内单调递
增，?H(a)?H(2)?2213?ln3?0， a?1?2a?1a?2a，?f(x)在(?2a,1a?1?2a)（?(?2a,11a?2a)）内单调递增， ?x0?(?2a,a?1?2a),于是?2a?x?x0时，
g?(x)?(a?1)?1x?2a?(a?1)?11xa?(a?1)??0, ?g(x)在(?2a,x0)递减. 0?21
a?1?2a?2a当x10?x?a?2a时，相应的g?(x)?1x?2a?(a?1)?1?(a?1)?1?0(1，
a?2a)?2a?g(x)在(x10,a?2a)递增. 故x0是g(x)的极小值点. ………………...12分
?x22. (Ⅰ) 由C??1?cos?9251:?，得 ?9y???1?cos????(x?1)2, ?y?sin2??444 ?曲线C51的普通方程为y??4?(x?1)2（0?x?2）, 由C?2:?sin(??4)??22，得曲线C2的直角坐标系普通方程为x?y?1?0. ?由??y??5?(x?1)2，得4x2?12x?5?0，?x?1 (x?5舍），y?3?4?x?y?1?022?2， 所以点M的直角坐标为(1,?322). ………………...5分
（Ⅱ）由C:??2cos?，得?2?2?cos?，?曲线C2233的直角坐标系普通方程为x?y?2x?0，
即(x?1)2?y2?1，则曲线C|1?0?1|3的圆心(1,0)到直线x?y?1?0的距离d?2?2，圆C3的半径为1，所以|AB|min?2?1. ………………...10分
?5523. (Ⅰ)不等式即x?2?2x?5?6，?①??x??或 ②?2?x??2?2 ?x?2?2x?5?6??x?2?5?2x?6或③??x?2 . 由①，得 ?2?x?5?2x?6x?133；由②，得 x??；由③，得 x?13；
所以，原不等式的解集为(??,][1313,??). ………………...5分 3(Ⅱ)不等式f(x)?4即?4?x?a?4，?a?4?x?a?4，?a?4??1且a?4?7，
?a?3. ?181181t16s1t16s??(?)(2s?t)?(10??)?(10?2?)?6. ……...10st3st3st3st分
说明: 各题评分时评分标准可根据情况适当细化.
华师一附中、黄冈中学八校联考理科数学试题及答案
