10．试证明，在所有a2这里L表示腔长，
L?相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。
R?R1?R2为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度。
证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔的损耗的大小。对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。只要N不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。
11．今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。
??[g1?g2?2g1g2]?解：??02?g1g2(1?g1g2)?L??2?14?1?g2?????2??g?L?2???14，(g1?1)
???1?2????L?L(R2?L)??当L?R2?0.5m时，
14
2?0最小.
?s1，
12．推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当R＝100cm时，（2）当L＝100cm时，?，?随R而变化的曲线。 ?s2随L而变化的曲线；s1s22??(R2?L)R?L1解：
?s1?????L(R1?L)(R1?R2?L)?14
?[L(?L)]14， (R??) ?R2?1?L?s2??????L(?L)(??L)R1R2?R2?R22(R1?L)14
??()?R2?L（1）R2?R?100cm
(2)L?100cm
LR2214(R1??)
13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的R＝2m，腔长L＝1m。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径解：
?0的大小和位置、该高斯光束的f及?0的大小。
2f?L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L)
[(L?R1)?(L?R2)]2
2
?L(R?L)?1*(2?1)?1m2 即：
f?1m
? ?3.7*10?3?ff??1.8*10m?3??20?0?
?14．某高斯光束腰斑大小为?0?1.14mm，??10.6?m。求与束腰相距30cm、10m、
1000m远处的光斑半径?及波前曲率半径R。
解：?(z)??0f2z2 1?()，R(z)?z?zf2??0?0.385m 其中，f??z?30cm： ?(30cm)?1.45mm，R(30cm)?0.79m
： ?(10m)?29.6mm， R(10m)?10.0m z?10m
z?1000m：?(1000m)?2.96m，R(1000m)?1000m
15．若已知某高斯光束之?0?0.3mm，??632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距
30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。
解：
11???i,R(0)?? 2q0R(0)??02??0?if?i?44.66cm 束腰处：q0?i?q(z)?q0?z??(2.10.8)
z?30cm:q(30cm)?(30?44.66i)cm z??:q(?)??
16．某高斯光束?0?1.2mm，??10.6?m。今用F?2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。
2??0?0.43m 解：f??(l?F)F2l??F?(l?F)2?f22F2?0???0(F?l)2?f22 （）
?2??2.40?10?6m l?10m l??2.004?10m, ?0?l?1m: l??2.034?10?2m, ?0?2.25?10?5m ?l?10cm: l??2.017?10?2m, ?0?5.53?10?5m ?l?0: l??1.996?10?2m, ?0?5.62?10?5m
可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。
17．CO2激光器输出光??10.6?m，?0?3mm，用一F?2cm的凸透镜聚焦，求欲得到
??20?m及2.5?m时透镜应放在什么位置。 ?02??0?2.67m 解：f??2F2?0?? （2.10.18） ?022(F?l)?f22F2?0(1) (F?l)??f2?1.885m2 2??02l?1.39m
2F2?022(2) (F?l)? ?f?568.9m2??02l?23.87m
??及l3。 18．如图光学系统，入射光??10.6?m，求?02??0?2.67m 解： f??(l1?F1)F12??F1?l1?0.02m
(l1?F1)2?f2???02F12?0(F1?l1)2?f2?2.25?10?5m
??l2?l1??13cm l2?2??0f???1.50?10?4m
???F2)F22(l2l3?F2??0.0812m 22??F2)?f?(l2????0
19．某高斯光束?0?1.2mm，??10.6?m。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜
?2F22?0??F2)2?f?2(l2?1.41?10?5m
R?1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，F1?2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜
相距l?1m，如图所示。求该望远系统对高斯束的准直倍率。
2??0Rl2F2l2?0.427m ，F2??0.5m 解：M??M1?()?1?() f??2fF1fM??50.95
20．激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为?的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。
11解： 由两个相同的凹面镜组成的谐振腔所对应共焦腔的焦距为：f??L(2R?L)?2，束
21??L?2R?L??4。当L?R时，束腰半径最大。所以，对称共焦腔有腰半径：?0?2?最大的束腰半径。
实验步骤：1，对某一腔长，测得束腰光斑的位置，此位置单位面积内具有该腔内光
束的最大光功率。
2，改变腔长，同1测量束腰光斑处小孔后的光功率。在束腰光斑光功率
最小时，用卷尺测得两腔镜间距L。
则有，L?R,f?1L。 221．已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，R1?1m，R2?2m，L?0.5m。如何选择高斯光束腰斑?0的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束？ 解：由式(2.12.3)及球面反射镜等价焦距F?1R，有： 2????2?2?????2?2?0??和R2?l2?1??0?? R1?l1?1????l????l????1??????2??又l1?l2?L，取??10.6?m。
?3得：l1?0.375m,l2?0.125m，?0?1.28*10m
22．（1）用焦距为F的薄透镜对波长为?、束腰半径为?0的高斯光束进行变换，并使变换
???0（此称为高斯光束的聚焦）后的高斯光束的束腰半径?0，在F?f和F?f2??0（f?）两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离l？（2）在聚焦过程
?中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离l不能改变，如何选择透镜的焦距F？
'2?0F2?0???解： ?0 ，22(F?l)?f?021l??f???1??????F??F?222
l???f?2222(1) 当F?f时，须?1???1???解得：l?F?F?f或l?F?F?f
?F??F?2
周炳琨激光原理第二章习题解答
