平面向量与解析几何的综合运用

平面向量与解析几何得综合运用

数学组 施冬芳

由于向量既能体现“形”得直观位置特征，又具有“数”得良好运算性质,就是数形结合与转换得桥梁与纽带。而解析几何也具有数形结合与转换得特征,所以在向量与解析几何知识得交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题得一个新得亮点。近几年全国各地得高考试题中，向量与解析结合得综合问题时有出现。但从最近教学情况来瞧,学生对这一类问题得掌握不到位,在试卷上经常出现进退两难得境地,因此,就这一问题做一归纳总结与反思。

平面向量与解析几何得结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题得处理,解决此类问题基本思路就是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算得几何意义,利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、运用向量共线得充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线得充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰，易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这

类问题要简捷得多。

例1、 (全国卷Ⅰ))已知椭圆得中心为坐标原点Ｏ,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F得直线交椭圆于A、B两点,与共线。

(Ⅰ)求椭圆得离心率；

(Ⅱ）设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。

解：设椭圆方程为

则直线AB得方程为,代入，化简得 、

令A(),B）,则 由与共线，得 又,

即,所以, 故离心率

(II)证明：(1)知,所以椭圆可化为 设,由已知得 在椭圆上, 即① 由(1)知

又,代入①得

故为定值，定值为1、

例2(天津卷）椭圆得中心就是原点O,它得短轴长为,相应于焦点Ｆ(c, ０）(ｃ＞0)得准线l与x轴相交于点A, 过点A得直线与椭圆相交于P、Q两点。

(Ⅰ)求椭圆得方程及离心率; (Ⅱ）若,求直线PQ得方程；

(Ⅲ)设，过点P且平行于准线l得直线与椭圆相交于另一点Ｍ,证明: [简解] （Ⅰ) 椭圆方程为,离心率 （Ⅱ）略、

(Ⅲ) [证明] 设P(x1，y１),Q (x2,y2）,又A(3,0),由已知得方程组:

;

注意λ>１,消去x１、y1与y2 得 因Ｆ(2 , 0）, M（x１，－ｙ1),

1????1,?y1)???(,y2). 故FM?(x1?2,?y1)?(?(x2?3)?1,?y1)?(22?而

所以 、

2、运用向量得数量积处理解几中有关长度、角度、垂积,可以把有关得长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为要求得结果。

例３、 (重庆卷)设p＞0就是一常数,过点Ｑ(2p，0)得

相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心),

直等问题;运用向量得数量数量关系,从而“计算”出所直线与抛物线y2＝2px交于试证明抛物线顶点在圆H得

圆周上;并求圆Ｈ得面积最小时直线AＢ得方程。

[分析] 要证点Ｏ在圆H上,只要证OA⊥OB，可转化为向量运算·＝０,用向量运算得方法证明.（见图１) [解答] 由题意,直线ＡB不能就是水平线,故可设直线方程为:kｙ=ｘ-２ｐ 又设Ａ(ｘA，yA）,B(xB，yB)， 则其坐标满足 ｋｙ＝x－2p y＝2ｐｘ

2

消去x,得y2－2pky－4p2＝0

由此得

xＡ+xB=４p＋k （yＡ+ｙＢ) =（4+2k2)p ， xAxB＝＝4P2 因此·=xAxB+yＡyB＝０,即OA⊥OB 故O必在圆Ｈ得圆周上。

又由题意圆心Ｈ(xＨ , yＨ）就是ＡＢ得中点，故

由前已证,OＨ应就是圆H得半径,且＝＝

从而当k=0时，圆H得半径最小,亦使圆H得面积最小。 此时,直线AＢ得方程为:x＝２ｐ、

３、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线得性质。

例4.(全国新课程卷）平面直角坐标系中,Ｏ为坐标原点,已知两点A（３, １),Ｂ（－１, 3）， 若点C满足,其中,∈R且+＝1,则点Ｃ得轨迹方程为（ ）、

［分析] 本题主要考查向量得运算（几何形式或坐标形式)及直线得方程,把向量联系起来,使问题立意更新,情景更好,内容更丰富。

［解法1］ 设C(x, ｙ）,则 (x, y)＝(３, )＋（－, 3)＝(3－, ＋3)， ∴ ｘ=3－， y=+3. x=4－1,

∴

y＝-2+3.

消去参数,得点C得轨迹方程为ｘ+2y－５=0.

[解法2] 利用向量得几何运算,考虑定比分点公式得向量形式，结合条件知:Ａ,B,Ｃ三点共线,故点C得轨迹方程即为直线AB得方程x+２y－5=0,故本题应选D.

从上述几例可以瞧出,只要对于解析几何中图形得位置关系与数量关系进行认真分析,充分挖掘问题得向量背景，注意运用曲线参数方程得点化作用,就完全有可能获得一个漂亮得向量解法。

随着新教材得逐步推广、使用,今后高考对新增内容得考查会逐渐加大,综合性会更强。作为新课程新增内容之一得向量具有数形兼备得特点,成为了作为联系众多知识得桥梁。因此,向量与三角、解析几何、立体几何得交汇就是当今高考命题得必然趋势,所以必须非常重视对向量得复习与演练,直至达到深刻理解、运用熟练得境地。

又 α+β=1

对“导数得应用”得教学反思

数学组 施冬芳

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新得活力,它在函数得单调性、极值、最值等方面有着广泛得应用，还可以证明不等式,求曲线得切线方程等等。导数得应用一直就是高考试题得重点与热点之一。本文对几类常见问题进行剖析与探究。

问题⑴:若为函数f(x)得极值点，则= 0吗？ 答:不一定，缺少一个条件(可导函数）。

反例:函数在处有极小值，而不存在。

正确得命题就是:若为可导函数f(x)得极值点,则= 0 问题⑵:若＝ ０, 则函数f(x）在处一定有极值吗? 答:不一定。

反例:函数有= ０,而f(x) 在处没有极值。

正确得命题就是：若= 0,且函数f(x)在处两侧得导数值符号相反,则函数f(x)在处有极值、 问题⑶：在区间上得可导函数ｆ(x),>０就是函数f(x)在该区间上为增函数得充要条件吗？ 答:不一定。反例:函数 在上为增函数,而＝ 0。

正确得命题就是:(函数单调性得充分条件) 在区间上,>0就是f(ｘ)在该区间上为增函数得充分而不必要条件、 (函数单调性得必要条件)函数ｆ(x)在某区间上可导,且单调递增,则在该区间内0。

另外,中学课本上函数单调性得概念与高等数学(数学分析)上函数单调性得概念不一致。数学分析上函数单调性得概念有严格单调与不严格单调之分。

问题⑷:单调区间应写成开区间还就是写成闭区间？

答: 若端点属于定义域,则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。 问题⑸:“曲线在点Ｐ处得切线”与“曲线过点P得切线”有区别吗？

例1已知曲线上一点P(2,)、 求点P处得切线方程。大多数学生能迅速找到解题思路，并得到正确结果:、 变式 已知曲线上一点P(２,）。求过点P得切线方程。 解 设切点为Q,则切线得方程为 又点P在切线上， 所以 整理,得

所以 于就是 切线得方程为，、

小结:“曲线在点P处得切线”只有一条,且Ｐ为切点;“曲线过点Ｐ处得切线”有两条,P不一定就是切点。在高三数学复习中，用好课本,尤其就是课本例题更为重要,能总结出一些有规律性得东西,可使学生在复习时既有熟悉感又有新奇感,从而提高认识得深度。

问题６:忽视函数得定义域,容易致错,也给解题带来很大困难。 例2 求函数得单调递增区间。 错解:

所以 所以 单调递增区间就是与。

正解: 因定义域为 , 所以就是正数 于就是

所以 单调递增区间就是。

评注:这种类型得题目在高三总复习中常常见到，也就是学生常犯得错误之一。 函数得单调性就是函数性质得核心,就是高考必考内容,强调求函数得单调区间时, 不忘求定义域,还要先求定义域,从而达到化繁为简,事半功倍得效果。 问题⑼:用导数解含参数得函数在某区间上得单调性问题 例３ 若函数 在内单调递减,则实数a得取值范围为

错解: 因为 在内单调递减,所以 在上恒成立,即 恒成立。因此 。 正解: 因为 在内单调递减,所以 在上恒成立 ,即 恒成立。因此

评注:这种类型得题目就是高考试题得重点与热点，也就是学生常见得错误之一。出错得原因在于没有搞清楚函数单调性得充分条件与必要条件之间得关系；没有正确理解函数单调性得充分条件”得含义。

经探讨得到以下结论： 一般地,设函数 在某个区间内可导,则,且方程得解就是离散得 就是f（x)在该区间上为增函数得充要条件; ,且方程得解就是离散得 就是f(x）在该区间上为减函数得充要条件、

对上述“方程得解就是离散得”, 笔者认为:部分教师讲 不恒等于零； 有得教辅资料著函数在个别点得导数等于零,这些讲法都欠妥，换言之，方程得解就是离散得才恰到好处。 另外,一般得，在高考试题中考查含参数得函数在某区间上得单调性问题，不会存在使方程在某个区间内有连续解得情况。