江西省上饶县中学2017-2024学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
uuruuuruuur1. 已知I是?ABC的内心，AC?2,BC?3,AB?4.若AI?xAB?yAC，则x?y?.
2. 已知函数f(x)?x2?2x?3.若当1?x?2时，不等式f(x)?a?2的解集是空集，则实数a的取值范围是.
logbc、logab成等差数列，则该等差数列的公差3. 若a、b、c成等比数列，logca、为.
x2y24. 已知双曲线2?2?1(a、b?0)的两个焦点分别为A(?1,0),B(1,0)，过点B的直
xb线l与该双曲线的右去交于M、N两点，且?AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.
?2011?2013?????1?,M,0?5. 已知函数f(x)?ex(sinx?cosx)，其中，x???.过点??222????作函数f(x)图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列?xn?.则数列?xn?的所有项之和S的值为.
6. 如图1，已知直线l?平面?，垂足为O，在
BC?1,AC?2,AB?5.该直角三角形Rt?ABC中，
的空间做符合以下条件的自由运动：①A?l，②C??.则B、O两点间的最大距离为.
7. 集合A??2,4,L,2014?，B是集合A的任意非
空子集，ai、aj是集合B中任意两个元素，以ai、aj为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合B中元素个数的最大值为.
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8.已知实系数一元二次方程ax2?bx?c?0有实根.则使得
(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?ra2成立的正实数r的最大值为.
二、解答题（共56分）
9.（16分）当x?0时，求函数f(x)?2x?(x?1?a)2的最小值g(a)的表达式.
10. （20分）已知数列?an?满足a1?1,a2n?an,a4n?1?0,a4n?1?1(n?Z?).
（1）是否存在正整数T，使得对任意的n?Z?，有an?T?an？ （2）设S?
11. （20分）设点A(?2,0)和eO:x2?y2?4，AB是eO的直径，从左到右是eO上的动点，PD?ABM、O、N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）
uuuruuur于点D，PE??ED，直线PA与BE交于点C，CM?CN为定值.
（1）求?的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）若点Q、R是曲线E上不同的两点，且PQ、PR与曲线E相切，求
?OQR面积的最小值.
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aa1a2?2?L?nn?L，问：S是否为有理数？说明理由. 101010
加 试
一、（40分）如图2，已知?ABC(AB?AC)的内心为I，B相对的旁切圆圆心为O，
BC的中点为M，MI与AC交于点P.证明：OP‖BC.
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xp?1二、（40分）设x是一个大于1的正整数，p是素数，d.
x?1（1）证明：d?0(modP)或d?1(modP)；
（2）若d是不同于p的素数，则xd?1?0(modp)恰有d个不同的解（即模p互
不同余）.
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三、（50分）设n?4，M为三维空间中n个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上.将集合M中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合M至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合M中所有的点均在一个球面上.
四、（50分）设?为实数，1???2.证明：
?1?（1）把写成无穷乘积有唯一的表达式????1?nii?1?????，其中，ni为正整数，?满足ni2?ni?1；
（2）?是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在m，对所有的
k?m，满足nk?1?nk2.
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