2016年四区高三第二次模拟练习理科数学参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．(?2,1] 2．1 3．(3,1) 4．
32? 5． 6．3 237．（理）(??,?2]?[0,2] （文）[?2,2]
8．y2?4x 9．（理）(0,1) （文）?6 10．（理）5 （文）2
11．（理）
36?232 （文） 12．2n?6n
7513．（理）{48，51，54，57，60} （文）{24,27,30} 14．（理）6?42 （文）?4
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．B 16．D 17．C 18．B
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．（本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分）
（理）（1）因为底面△ABC是等腰直角三角形，且AC?BC，所以，AC?BC， 因为CC1?平面ABC，所以CC1?BC， 所以，BC?平面ACC1A1．
（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，D(2,0,1)， 由（1），CB?(0,2,0)是平面ACC1A1的一个法向量，
?CB1?(0,2,2)，CD?(2,0,1)，设平面B1CD的一个法向量为n?(x,y,z)，则有
??n?2y?2z?0,??CB1?0, 即 令x?1，则z??2，y?2， ?????2x?z?0,?n?CD?0,?所以n?(1,2,?2)
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DSZ
?设CB与n的夹角为?，则cos???CB?n42 ???2?33|CB|?|n|由图形知二面角B1?CD?C1的大小是锐角， 所以，二面角B1?CD?C1的大小为arccos
（文）（1）因为底面△ABC是等腰直角三角形，且AC?BC，所以，AC?BC 因为CC1?平面ABC，所以CC1?AC 所以，AC?平面BCC1B1
（2）取CC1点E，连结DE、B1E，则DE∥AC， 所以，?B1DE就是异面直线B1D与AC所成角（或其补角）
因为DE∥AC，所以DE?平面BCC1B1，所以△B1DE是直角三角形，且?B1ED?90? 因为DE?2，B1E?5，所以，tan?B1DE?2 3B1E5 ?DE25 2所以，异面直线B1D与BC所成角的大小为arctan
20．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （理）（1）f(x)?3sin?x?cos?x?1?2sin??x?又T??，所以，??2 所以，f(x)?2sin?2x???????1 6???????1 6?（2）f(B)?2sin?2B?所以，2B???????1???1?0，故sin?2B???，
6?26??或2B??6?2k???6?6
?2k??5?（k?Z）， 6因为B是三角形内角，所以B??312 DSZ
而BA?BC?ac?cosB?23，所以，ac?3 22222又a?c?4，所以，a?c?10，所以，b?a?c?2accosB?7， 所以，b?
（文）（1）f(x)?2sin?2x?7
??????1 6?所以，f(x)的最小小正周期T??
????f(x)的单调递增区间是?k??,k???，k?Z
36??（2）f(B)?2sin?2B?所以，2B???????1???1?0，故sin?2B???，
6?26??或2B??6?2k???6?6
?2k??5?（k?Z）， 6因为B是三角形内角，所以B?而BA?BC?ac?cosB?2?33，所以，ac?3 22222又a?c?4，所以，a?c?10，所以，b?a?c?2accosB?7， 所以，b?
21．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）f(x)?1?7
1?11??1??1?，则f(x)在??,?上是增函数，故f????f(x)?f??， x?1?22??2??2?即?1?f(x)?1 3故|f(x)|?1，所以f(x)是有界函数
所以，上界M满足M?1，所有上界M的集合是[1,??)
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（理）（2）因为函数g(x)在x?[0,2]上是以3为上界的有界函数，故|g(x)|?3在
x?[0,2]上恒成立，即?3?g(x)?3，所以，?3?1?2x?a?4x?3（x?[0,2]）
所以????44x?1?2x???a???21??4x?2x??（x?[0,2]）， 令t?1?1?2x，则t???4,1??，故?4t2?t?a?2t2?t在t???1??4,1??上恒成立， 所以，(?4t2?t)max?a?(2t2?t)min（t???1??4,1??）
令h(t)??4t2?t，则h(t)在t???1??1?1?4,1??时是减函数，所以h(t)max?g??4????2
令p(t)?2t2?t，则p(t)在t???1,1??时是增函数，所以p(t)?1?1?4?min?h??4????8
所以，实数a的取值范围是????12,?1?8?? （文）（2）由题意，?3?g(x)?3对x?[0,??)恒成立，
xx即?3?1?a???1??1??2?????4???3
x令t???1??2??，则t?(0,1]，原不等式变为?4?at?t2?2，
故?4?t22?t2?t?a?t， 故???4t?t????a???2?t?? max?t?min因为y??4t?t在?(0,1]上是增函数，故??4???t?t????5 max又y?2t?t在t?(0,1]上是减函数，故??2??t?t???1 min综上，实数a的取值范围是[?5,1]
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（理）22．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
?x2y2?1,??（1）由?3得(3k2?4)x2?24kx?36?0，所以△?144(k2?4)?0， 4?y?kx?4?设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?24k36xx?， 123k2?43k2?4因为PA?AB，所以x2?2x1，代入上式求得k?65 5（2）由图形可知，要证明?AFP??BFO，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补， 即等价于kAF?kBF?0
kAF?kBF??11?y1?1y2?1kx1?3kx2?33(x1?x2)?????2k?3???2k? ?xx?x1x2x1x2xx2?12?124k23k?4?2k?2k?0． ?2k?363k2?43?所以，?AFP??BFO
（3）由△?0，得k?4?0，所以
2S?ABF?S?PBF?S?PAF?11|PF|?|x1?x2|??3?(x1?x2)2?4x1x2 2218k2?4 ?23k?4令t?k?4，则t?0，3k?4?3t?16故S?ABF22218k2?418t18 ???22163k?43t?163t?t?161622118332（当且仅当3t?，即t?，k?取等号） ?t33423?16所以，△ABF面积的最大值是
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2016年长宁（宝山、青浦、嘉定）区高考数学二模试卷含答案
