电磁场镜像法

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§1-8 镜像法

一、镜像法

1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的

问题很容易地得到解决。该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。 2. 应用镜像法应主意的问题

应主意适用的区域，不要弄错。在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在

研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。 3. 镜像法的求解范围

urur应用于电场E和电位?的求解；也可应用于计算静电力F；确定感应电荷的分布

??,?,??等。

二、镜像法应用解决的问题

一般是边界为平面和球面的情况

1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h远处有一点电荷q，周围介质的介电常数

ur为?，求解其中的电场E。

ur解：在电介质?中的场E，除点电荷q所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电

荷的作用，但其分布不知（?未知），因此无法直接求解。用镜像法求解该问题。

对于?区域，除q所在点外，都有???0 以无限远处为参考点????0? 在边界上有：????????由唯一性定理有??2q4??r??q?0 即边界条件未变。 4??rq4??r??q4??r??q?11???? 4???r?r??对于大场E不存在?E?0?

推广到线电荷?的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。 例1-15. P54

求空气中一个点电荷q在地面上引起的感应电荷分布情况。 解：用镜像法求解

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uruuruurP点：E?E??E?

uur E??q4??0r?2quuruur0r? ， E??qr?quur0 r??r??r 2?4??0r?1h222r?x?hcos??? E?2? ??224??0r2??0rr ?E?qh2??0?x?h22?3

2 感应电荷密度?，D2n?D1n?? D2n?0（大地） D??0E??? ????qh2??x?h232?3

2 点电荷 Q?例1-16 P55

??ds??s??qh2??x2?h2?20?2?x?dx??q

解：用镜像法，如图所示，边界条件??0 ?0??1??2??3??4?0

2. 镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时的电场问题。

解：应用镜像法

求解区域?1如图b，?2如图c 设?1中电位为?1，?2中电位为?2

22满足条件：在?1中除q所在点外，有??1?0，在?2中??2?0

在两种媒质分界面上应有E1t?E2t，D2n?D1n?????0?

?qq'q''?4??r2cos??4??r2cos??4??r2cos??E1t?E2t?112由? 有?

'''qq?D1n?D2n?qsin??sin??sin?222?4?r4?r?4?r?'?1??2q?q?q?q'q''???1??2???2 ?????1

?q?q'?q''?q''?2?2q???1??2?.

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q'与q'''两个镜像电荷来代替边界的极化电荷

q?q?q

'''''?'?1??2????????12若q为?的线电荷则有：?

2?2??''???????123. 点电荷对金属面的镜像问题

点电荷与接地金属球的问题

① q1与?q2的电场中，求电位为零的等位面。 ?p?q14??0r1?q24??0r2 令?p?0 则有

q1r1?q2r2

余弦定理

222??r1?R?d?2Rdcos? ?222??r2?R?b?2Rbcos?q12r12R2?d2?2Rdcos? ?2?2?2 2q2r2R?b?2Rbcos?22222222 ?q1R?b?q2R?d??2Rq2d?q1bcos??0

????????Q 等位面为球面（等位线为圆），所以电位?与?无关，即与cos?无关，?必有

?R2?bd???q?R?b??q?R?d??0 ? ??bR 22q1?q1?q2???q2d?q1b?0dd?21222222这说明只要满足上式，必有一个半径为R的球面是零电位的等位面。

讨论点电荷与接地金属球问题

2解：除q点外，???0，没撤除金属球，整个空间充满?，在离球心为b处，b?R2d，

用一个负电荷q?'RR取代。对于rffR(金属球外)的电场可用q和q'两点来计算。边界d2条件r?R, ??0未变，???0 ??r?q4??rq?q4??rq'

② 对于金属球不接地，原来又不带电荷，则必须同时考虑正负两部分电荷的作用，此时用

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