数值分析习题集
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
第一章 绪 论
1. 设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.
2. 设x的相对误差为2％,求的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
出它们是几位有效数字:
4. 利用公式求下列各近似值的误差限:
其中均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设按递推公式
( n=1,2,…)
计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7. 求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8. 当N充分大时,怎样求?
9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
10. 设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而
相对误差却减小.
11. 序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程
稳定吗?
12. 计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
13. ,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
14. 试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
15. 已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足
第二章 插值法
1. 根据定义的范德蒙行列式,令
证明是n次多项式,它的根是,且
.
2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值. x lnx
4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数
字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5. 设,k=0,1,2,3,求.
6. 设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
i) ii)
7. 设且,求证
8. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函
数表的步长应取多少? 9. 若,求及.
10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11. 证明. 12. 证明 13. 证明
14. 若有个不同实根,证明
15. 证明阶均差有下列性质: i) 若,则; ii) 若,则. 16. ,求及.
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18. 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20. 设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误
差.
22. 求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23. 求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下: 试求三次样条插值并满足条件 i) ii)
25. 若,是三次样条函数,证明 i) ;
ii) 若,式中为插值节点,且,则.
26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.
(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
差做比较. 2. 求证:
(a)当时,. (b)当时,.
3. 在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式. 4. 假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一? 6. 求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 7. 求在上的最佳一次逼近多项式.
8. 如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一? 9. 设,在上求三次最佳逼近多项式. 10. 令,求.
11. 试证是在上带权的正交多项式.
12. 在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使
14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.
15. 在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过.
16. 是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数. 17. 求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较. 18. 、,定义
问它们是否构成内积?
19. 用许瓦兹不等式估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果. 20. 选择,使下列积分取得最小值:.
21. 设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果. 22. 在上,求在上的最佳平方逼近.
23. 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
.
24. 将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差
图形,再计算均方误差. 25. 把在上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差. 19 25 31 38 44 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 时间(秒) 0 110 距离(米) 0 10 30 50 80 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 浓度 0 用最小二乘拟合求. 29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图.
31. 现给出一张记录,试用改进FFT算法求出序列的离散频谱
50 55 第四章 数值积分与数值微分
1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所
数值分析习题集及答案
