导数的几何意义
一、教学目标：1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.
2.会求导函数.
3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
二、知识点：
1、导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_______,也就是曲线
y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率k=________=___________,相应地,切线方程为 ______________.
2、导函数从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时f?(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即__________ 3、求切线方程的步骤. ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f?(x0);
②根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f?(x0)(x-x0)
三、典例
例1、 已知曲线C:y=3??3+3.求在曲线C上横坐标为2的点处的切线方程. 解:切点C为（2，4） ?y??x ?k?f??2??4
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∴曲线C在点(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
例2、 已知曲线y=f?x?=3x2+7,在曲线上求一点,使其分别满足下列条件: (1)在该点处的切线的倾斜角为45°; (2)在该点处的切线平行于直线6x-y-2=0; (3)在该点处的切线垂直于直线x+12y-3=0.
解:设所求点的坐标为(x0,y0,), ?y??6x ，?k?f??x0??6x0 (1)因为切线的倾斜角为45°, 所以切线斜率为tan 45°=1, 即f'(x0)=6x0=1,得x0?
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0?1。 所以该点的坐标为(1,10).
(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,
所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2. 所以该点的坐标为(2,19).
1185 ，所以该点的坐标为(6,12). 6变式训练 求曲线f?x?=x3在哪一点处的切线: (1)平行于直线y=3x-5? (2)垂直于直线x+6y+5=0? (3)倾斜角为45°?
例3 （难）求过曲线y=f?x?=x3上的点(1,1)的切线方程.
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解:设切点坐标为(x0,??0)，f'(x0)=3??0. 故切线方程为y???0=3??0(x-x0). 32因为该切线经过点(1,1), 所以1???0=3??0(1-x0),
解得x0=1或x0=?2. 所以切线方程为y-1=3(x-1)或y+8=4(??+2), 四、作业
1.曲线y=2x3在点A(1,2)处的切线的斜率等于( ) A.0 B.2 C.4 D.6
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是( )
A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA) 4.若曲线f(x)=x2在点P处的切线斜率等于2,则点P的坐标为( ) A.(-2,-8) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(-,-) 28 1 1 1131 123 x?2上一点??(1,-2),则曲线在点P处的切线的倾斜角为( ) 2B.45° D.165° 5.若函数f(x)在x=-2处的导数f'(-2)=-1,则曲线f(x)在(-2,f(-2))处的切线的倾斜角等于 . 6. 若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则 p= . 7.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 8.函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象如图所示,则f(2)+f'(2)= . 9.★已知函数y=f(x)= ??2?? ?1(a>0)的图象在x=1处的切线为l,求切线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.
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