高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率教案（含解
析）北师大版选修22
1变化的快慢与变化率
平均变化率
下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
x(min) y(℃)
0 39 10 38.7 20 38.5 30 38 40 37.6 50 37.3 60 36.9 问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？ 提示：不相同．
问题2：哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min到30 min变化快． 问题3：如何刻画体温变化的快慢？
提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．
平均变化率
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为
fx2－fx1f(x2)，它的平均变化率为.
x2－x1
其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与Δyfx2－fx1
自变量的改变量之比，即＝.
Δxx2－x1
(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
瞬时变化率
一质点的运动方程为s＝10t，其中s表示位移，t表示时间． 问题1：求该质点从t1＝1到t2＝2的平均速度v1. 10×4－10×1
提示：v1＝＝30.
2－1
2
问题2：问题1中所求得的速度是t＝1或t＝2时的速度吗？ 提示：不是，是平均速度．
问题3：求该质点从t1＝1到t1＝1.1的平均速度v2. 10×1.1－10×1
提示：v2＝＝21.
1.1－1
问题4：v1，v2中哪一个值较接近t＝1时的瞬时速度？ 提示：v2，因为从t1＝1到t2＝1.1的时间差短．
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1
－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是
Δyf＝Δx2
x1－fx0
x1－x0
＝
fx0＋Δx－fx0
.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
Δx(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．
求函数平均变化率 [例1] 已知函数f(x)＝2x＋1. (1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[思路点拨] 先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解． [精解详析] (1)由f(x)＝2x＋1， 得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2， Δx＝2.01－2＝0.01， ∴
Δy0.080 2
＝＝8.02. Δx0.01
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(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)＋1－2x0－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴
Δy2Δx2x0＋Δx＝＝4x0＋2Δx. ΔxΔx2
2
[一点通] 求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. Δyf(3)求平均变化率＝
Δxx1－fx0
.
x1－x0
[注意] Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.
Δy2
1．在曲线y＝x＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则为( )
Δx1
A．Δx＋＋2
ΔxC．Δx＋2
1
B．Δx－－2
Δx1
D．2＋Δx－
Δx解析：选C ∵x1＝1，x2＝1＋Δx，即Δx＝x2－x1，
∴Δy＝(x2＋1)－(x1＋1)＝(1＋Δx)＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)， Δy2Δx＋Δx∴＝ΔxΔx2
2
2
2
2
2
＝2＋Δx.
1
2．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率， 并比
x较在两个区间上变化的快慢．
Δyf解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝
Δx2－f11
＝.
2－12
Δyf5－f3141
自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于
Δx5－315214
<， 15
1
所以函数f(x)＝x＋在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．
x 运动物体的平均速度与瞬时速度 [例2] 已知s(t)＝5t. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
2
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t＝3秒时的瞬时速度．
[精解详析] (1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1， Δs＝s(3.1)－s(3) ＝5×(3.1)－5×3 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴
Δs5×0.1×6.1＝＝30.5(m/s)． Δt0.1
2
2
(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01， Δs＝s(3.01)－s(3)， ＝5×(3.01)－5×3
＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴
Δs5×0.01×6.01＝＝30.05(m/s)． Δt0.01
2
2
(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt， 即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)，
∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)－5×3 ＝5·Δt·(6＋Δt)， ∴
Δs5Δt6＋Δt＝＝30＋5Δt. ΔtΔt2
2
Δs当Δt趋于0时，趋于30.
Δt∴在t＝3时的瞬时速度为30 m/s.
[一点通] 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.
3．一物体的运动方程是s＝3＋t，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 C．4
Δs3＋2.1－3＋2解析：选D ＝
Δt2.1－2
22
22
B．3 D．4.1 ＝4.1.
4．一辆汽车按规律s＝at＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a. 解：∵s＝at＋1，
∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)＋1.
2
2
2
于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)＋1－(4a＋1)＝4a·Δt＋
2
a·(Δt)2.
Δs4a·Δt＋a·Δt∴＝ΔtΔt2
＝4a＋a·Δt.
Δs当Δt趋于0时，趋于4a.
Δt依据题意有4a＝12，∴a＝3.
(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．
(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．
(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
1．设函数y＝f(x)＝x－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 C．2 解析：选A
Δyf＝ΔxB．1.1 D．0
1.1－f10.21
＝＝2.1.
1.1－10.1
2
2．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，Δs为( ) ΔtA．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度 B．在t 时刻物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度 解析：选B
Δs中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度． Δt2
3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是( )
A．4 C．15
2
2
B．13 D．28
解析：选C Δs＝(3×3＋1)－(3×2＋1)＝15.
高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率教案(含解析)北师大版选修22
