五道题满分总和是120÷3=40。所以李明得40分。
例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？
解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人） 行程问题
两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足
速度差×时间=追及（或领先的）路程
对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。
分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考
理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的
【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5
小时相遇。A、B两地相距多少千米？
【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。
【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和×时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。
【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
【分析】为便于分析，画出线段图36-1：
图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。 根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。因此，DC的长为
这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）
这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。
【解】（留给读者完成，答案是195分钟。）
【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发， 8分钟后，爸爸骑摩托
车去追他，在离家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。问这时是几点几分？ 【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。
由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。这样可以算出，小明从家到A所用的时间为 8÷（3-1）×3=12（分）
【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分）
【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远？
【分析】我们同样还是画出示意图 37-2（图 37-2中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：
设 AB两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时
通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了3个全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇时，它们一共行完了5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。
下面，我们只要找出与“40千米”相对应的分率（也就是MN占全程的几分之几）。 【解】
注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。
我们来讨论封闭线路的行程问题。
解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。
封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。 直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。
【例5】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行1400
知道甲还需行100（=300-200）米。
1400÷300=4（圈）……200（米） 300-200=100（米）
【例6】如图38-1，A、B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C点离A点80米，D点离B点60米。求这个圆的周长。
【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后，小张、小王又从C点同时开始前进，因为小王的速度
比小张快，要第二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。也就是，前者所花的时间是后者的2倍。对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米，一共行了240米。这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60）米。
【解】（80+80×2-60）×2=360（米）
【例3】2点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？ 【分析】分针的速度比时针快，2点整时，分针在时针后面 2格，要使分针与时针第一次垂直，分针应在时针前面3（=12÷4）格。也就是说，这段时间内分针应比时针多走5格。而分针每小时走12格，时针每小时走1格。
后，时针才能与分针第一次垂直。
每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。
时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑（5+12=）17格。所以要经 推理原理
解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。
【例1】有一座四层楼（图25-1），每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是791，275，362，612。那么，第二层楼代表哪个三位数？
【分析】仔细观察图25-1和组成四个三位数的12个数字，“2”出现3次，两次在个位，一次在百位。容易看出图2（a）代表“2”，再从“6”、“7”都出现两次，并根据它们所在的数位以及与“2”的关系，可推知：图25-2中（b）、（c）分别代表“6”和“7”。
(历年)公务员考试数量关系真题解析讲解
