雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有 （150-8×3）÷（10+8）= 7（天）. 雨天是7+3=10天，总共 7+10=17（天）.
答：这项工程17天完成.
请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）. 鸡是
100-38=62（只）.
答：鸡62只，兔38只. 当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是 （100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假设一个数的办法.
解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是 4×50-2×50=100，
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是
（100-28）÷（4+2）=12（只）. 兔只数是
50-12=38（只）.
另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.
例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 13×5×4+20=280（字）. 每首字数相差
7×4-5×4=8（字）. 因此，七言绝句有
28÷（28-20）=35（首）. 五言绝句有
35+13=48（首）.
答：五言绝句48首，七言绝句35首.
解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了
460-280=180（字）. 与题目中“少20字”相差 180+20=200（字）.
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200÷8=25（首）. 五言绝句有
23+25=48（首）. 七言绝句有
10+25=35（首）.
在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事. 例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是 （680-8×40）÷（8+4）=30（张）. 例9，假设都是兔，鸡的只数是 （100×4-28）÷（4+2）=62（只）.
10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是 （20×13+20）÷（28-20）=35（首）.
首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？
当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事. 例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是 （400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）. 答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？
例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是
8×6-2×（15-6）=30（分）. 两次相差
120-30=90（分）.
比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少 6+10=16（分）.
（90-10）÷（6+10）=5（题）.
因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）. 第一次得分
5×19-1×（24- 9）=90. 第二次得分
8×11-2×（15-11）=80.
答：第一次得90分，第二次得80分. 解二：答对30题，也就是两次共答错 24+15-30=9（题）.
第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）. 如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是 （6×9+10）÷（6+10）=4（题）? 第一次答错 9-4=5（题）.
第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）. 第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）. 三、从“三”到“二”
“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.
例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？
解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作 （0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是
（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）. 铅笔和圆珠笔共
232－12＝220（支）. 其中圆珠笔
220÷（4+1）=44（支）. 铅笔
220-44=176（支）.
答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.
例14 商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？
解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是
（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）. 从公式可算出，大球个数是 （120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）. 买中、小球钱数各是 （120-30×3）÷2=15（元）. 可买10个中球，15个小球.
答：买大球30个、中球10个、小球15个.
例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了. 例15是为例16作准备.
例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？
解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离÷所用时间
去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.
千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）÷2=4.5千米. 例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？
解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 （90-4×21）÷（5-4）=6（小时）. 单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.
从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是 45-5×3=30（千米）.
又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是 （6×7-30）÷（6-3）=4（小时）. 行走路程是3×4=12（千米）.
下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）. 答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.
做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.
例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？
解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题. 每次考25道题，就要多25-16=9（道）. 每次考20道题，就要多20-16=4（道）. 就有
9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.
答：其中考25题有2次.
例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？
解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车， 110-1.2×30=74（元）.
还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62（元）.
还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成“鸡兔同笼”了： 总头数 50-35=15， 总脚数 110-1.2×35=68. 因此，乘小巴前往的人数是 （6×15-68）÷（6-4）=11.
答：乘小巴前往的同学有11位.
在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解. 容斥问题 一、知识点
1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。 2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。
(历年)公务员考试数量关系真题解析讲解
