雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有 (150-8×3)÷(10+8)= 7(天). 雨天是7+3=10天,总共 7+10=17(天).
答:这项工程17天完成.
请注意,如果把“雨天比晴天多3天”去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢? 例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只? 解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
(100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是
100-38=62(只).
答:鸡62只,兔38只. 当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法.
解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是 4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是
(100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是
50-12=38(只).
另外,还存在下面这样的问题:总头数换成“两数之差”,总脚数也换成“两数之差”.
例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差 13×5×4+20=280(字). 每首字数相差
7×4-5×4=8(字). 因此,七言绝句有
28÷(28-20)=35(首). 五言绝句有
35+13=48(首).
答:五言绝句48首,七言绝句35首.
解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了
460-280=180(字). 与题目中“少20字”相差 180+20=200(字).
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200÷8=25(首). 五言绝句有
23+25=48(首). 七言绝句有
10+25=35(首).
在写出“鸡兔同笼”公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7、例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下,就会发现非常有趣的事. 例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是 (680-8×40)÷(8+4)=30(张). 例9,假设都是兔,鸡的只数是 (100×4-28)÷(4+2)=62(只).
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (20×13+20)÷(28-20)=35(首).
首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与“鸡兔同笼”公式比较,这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢?
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事. 例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?
解:如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只). 答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?
例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?
解一:如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是
8×6-2×(15-6)=30(分). 两次相差
120-30=90(分).
比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少 6+10=16(分).
(90-10)÷(6+10)=5(题).
因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题). 第一次得分
5×19-1×(24- 9)=90. 第二次得分
8×11-2×(15-11)=80.
答:第一次得90分,第二次得80分. 解二:答对30题,也就是两次共答错 24+15-30=9(题).
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分). 如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”,要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是 (6×9+10)÷(6+10)=4(题)? 第一次答错 9-4=5(题).
第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分). 第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分). 三、从“三”到“二”
“鸡”和“兔”是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.
例13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支?
解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出,钢笔支数是
(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共
232-12=220(支). 其中圆珠笔
220÷(4+1)=44(支). 铅笔
220-44=176(支).
答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.
例14 商店出售大、中、小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个?
解:因为总钱数是整数,大、小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是
(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中、小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买10个中球,15个小球.
答:买大球30个、中球10个、小球15个.
例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把“三”转化成“二”了. 例15是为例16作准备.
例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少?
解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离÷所用时间
去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.
千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)÷2=4.5千米. 例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米?
解:把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是6÷2=3(小时).
从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米).
又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小时). 行走路程是3×4=12(千米).
下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米). 答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.
做两次“鸡兔同笼”的解法,也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.
例17 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的有多少次?
解:如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题. 每次考25道题,就要多25-16=9(道). 每次考20道题,就要多20-16=4(道). 就有
9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意,4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=54比42大,考25题的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次).
答:其中考25题有2次.
例18 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位?
解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).
还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元).
还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成“鸡兔同笼”了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.
答:乘小巴前往的同学有11位.
在“三”转化为“二”时,例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解. 容斥问题 一、知识点
1、集合与元素:把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的,集合的这些成员,叫做这个集合的元素。
如:集合A={0,1,2,3,……,9},其中0,1,2,…9为A的元素。 2、并集:由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集,记作A∪B,记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”,用图表示为图中阴影部分表示集合A,B的并集A∪B。
(历年)公务员考试数量关系真题解析讲解
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