滤动青春
Abstract: This paper set out designing from the notable Sallen-Key circuit,with theoretical analysis of transfer function first.Then,We construct different kind of active low-pass filter,discussing their amplitude-frequency characteristic and phase-frequency characteristic,and show the characteristic by computer simulation,by which we can intuitively come to the merit,demerit and trait of each,so that we can then apply them further into various condition with specific requirements.What may matter is that,the construction of every filter in this paper is based on the wide-known parameter table of Sallen-Key low-pass filter.
Key words: different filter;Sallen-Key circuit;simulation;amplitude-frequency and phase-frequency characteristic.摘要：本文从Sallen-Key电路着手设计，从传递函数的理论分析出发，搭建并讨论了不同种类有源低通滤波器的幅频特性和相频特性，并通过仿真给出了各滤波器幅频相频特性的形象展示，从而直观地得出了各滤波器的彼此优劣及各自特点，以便进一步用于不同需求的场合。需要注意的是，本文中不同滤波器的搭建是基于已知的Sallen-Key低通滤波器参数对应表的。
关键词：各类滤波器；Sallen-Key电路；仿真；幅频特性及相频特性
0 引言
在信号传输中，众所周知的是，任意波形的信号都可以分解为许多不同频率正弦波的线性组合。而很多时候，我们只想要一个信号中特定的频率成分，这时滤波器就显得尤为重要。而着眼于具体的滤波器，由于滤波器难以实现理想化，不同的滤波器实现方式会有其不同的优缺点及滤波特性，通常我们无法做出一个完美的滤波器，即通带幅频平坦、阻带幅频下降迅速、相频响应为线性。实际应用中，通常要根据特定的需求来选择。那么，什么时候选择怎样的滤波器实现呢？这正是本文想要探讨的问题。为方便起见，本文仅就有源低通滤波器进行了分析，接下来让我们分别看看巴特沃斯滤波器、贝塞尔滤波器和契比雪夫滤波器。其中，巴特沃斯滤波器将先从理论推导入手，后面两个滤波器则主要通过仿真分析。
1 巴特沃斯滤波电路的设计与仿真分析
1.1前言
巴特沃斯（Butterworth）滤波器是为追求通带内最大平坦性而设计的滤波器。巴特沃斯滤波器的电路搭建于巴特沃斯传递函数密切相关，接下来的实验旨在借助仿真这种手段验证巴特沃斯滤波器数学模型的合理性。1.2数学推导
记s=????,其中??为信号频率，????为截止频率。对于如下图所示的低通滤波器，其传递函数为
图1.1 二阶低通滤波器单元
????(??)=
??o
1+(3???????)??????+(??????)=??+
2
2
??????2??????????+??2??
??1?对上式取模，考虑到在通带内??
（??4/????+1+（1/Q2-2）??2/????2）1/2
的增长速率主要取决于平方项，故令其系数为0，此时低频通带内衰减得最慢，得Q=
222。因此设计巴特沃斯滤波器的要求之一是等效品质因数必需取2。对高阶滤波器同样有
4
此要求。
下面我们通过经验找到的规律推导2阶、4阶巴特沃斯滤波器设计时对每个上图所示单元中同相比例放大器增益Avf取值的推导。
阶数为2时，由巴特沃斯传递函数的通式(参考文献[3])，令n=1,得|Vo(s)|
=（（1
此时令????1
+??2/????2））1/2=（1-j????）-1/2(1+j????)-1/2。?=?c2时，每一项的模值都是2，21?Q?得Avf=3-√2≈1.586。23?Avf??
??
阶数为4时，|Vo(s)|=（1+????）-1/2（1-????）-1/2（1+ej*3Π/4）-1/2（1+e-j*Π/4）-21/2,其中前两项不予理会；后两项模值之积为2，其模值分别为2222Q1=[(1+2)2+(2)2]-1/2与Q2=[(1-2)2+(2)2]-1/2
对Q与Avf作同上述处理，得
Avf1=1.152，Avf2=2.235
同理，阶数为6时，Avf的取值依次为1.068、1.586、2.483。关于增益的计算此处只
是找到了经验规律，其理论知识还不具备，需待后续学习。
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1.3仿真分析
由以上的理论分析及相关参考资料的印证，得到巴特沃斯滤波器设计表格如下：
表1.1 巴特沃斯滤波器阶数n与增益的关系
阶数24
各级增益K1.5861.1522.2351.068
6
1.5862.4831.038
8
1.3371.889
2.610
本次仿真实验中滤波器截止频率为100Hz，运算放大器选用LF412型JFET运放，其具有高输入阻抗、低零漂的特点。实验搭建阶数为4及阶数为6两种情况。
设计依据为
1
1
RC=2Π????，Avf=
+
??6
??5（以图
2中第一级同相比例放大器为例）
图1.2 四阶巴特沃斯低通滤波器
图1.3 六阶巴特沃斯低通滤波器
·实验一：验证
2Q=2的正确性。
在六阶巴特沃斯低通滤波器电路中，通过multism的参数扫描功能，得到其在不同Q值下幅频和相频特性如下图所示：
图1.4 六阶巴特沃斯低通滤波器不同Q值下幅频、相频响应
为更清楚地展示，现截取幅频特性图中截止频率邻域处的图像，且为直观，将应的曲线颜色换为大红色，如下图所示：
2Q=2对
图1.5 幅频特性在截止频率处的状态
可以看出，红线对应的曲线下方平坦性不足，而上方在截止频率处出现“驼峰”，这显然是我们不希望的。
·实验二：探究不同阶数下巴特沃斯低通滤波器的幅频、相频响应
同样地，利用参数扫描功能，我们可以得到4阶、6阶巴特沃斯低通滤波器的幅频、相频响应；将数据导入至Excel中，我们可以方便地绘制出响应曲线。首先做三点声明：1、由于巴特沃斯低通滤波器的相频特性“不好”，甚至在f>100Hz时出现了跳变，故此处去掉了相移超过-180°的数据；2、为方便地进行幅频特性地比较，这里将滤波器的总增益做了归一化处理；3、由于截止频率只有100Hz,故在参数扫描时频率上限设置为了200Hz。
结果图标呈现如下：
图1.6 （蓝线示4阶巴特沃斯，红线示6阶巴特沃斯）
报告4：滤动青春 - 图文
