菱形、正方形综合

凉菜

要判定正方形，可以从平行四边形出发，证一组邻边相等且夹角为90°；可以从矩形出发，证一组邻边相等；可以从菱形出发，证一角为直角等等；或者干脆从定义出发，都可进行判定．只要搞清它们之间的关系，看清题目中的条件，就不会感到束手无策．

例1 已知：正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形．

分析：这个图形是一种旋转型的图形，有四个直角三角形．如果能证出其中两个全等，那么就能证得周边四个直角三角形全等，从而证得四边形EFGH的四条边相等，且各个角是直角，即能得到结论．(证明略)

例2 求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形EFGH是正方形．

分析：四边形ABCD是矩形，每个内角是90°，加上内角平分线的条件，可以得到∠1=∠2=……=∠8=45°，那么容易得到∠H、∠F、∠HEF和∠HGF是90°，四边形EFGH已经是矩形了．所以这题证明的最好方法是从证矩形出发再证一组邻边相等，即 可证得结论．(证明略)

例3 已知：在四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边中点．求证：四边形EFGH是正方形．

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凉菜

分析：若能注意到中位线的性质，那么可证得任意四边形中点连线围成一个平行四边形．然后证它既具有矩形特点(即有一个角为直角)又具有菱形的一个特点(即相邻两边相等)，而由条件AC=BD，AC⊥BD，即可证得EF=FG，∠EFG=90°．因此四边形EFGH是正方形．(证明略)

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