凉菜
D C N A M B E
思考：观察图形知MD和MN分居在两个不同的三角形中，其中△ADM为直角三角形，不可能证明它们全
等，于是设法根据已知条件构造与△BMN全等的三角形。
猜想：在（1）中MD与MN的大小关系是MD=MN，考查（2）和（1）的联系，类比得到MD=MN。 发现：（1）在如图所示中取AD中点H，连结MH ∵M为AB中点，AB=AD ?AM?MH，?AHM??DHM?.
又?BN平分?CBE ??MBN?135°
即?DHM??MBN?DM?DN??AMD??NMB??AMD??ADM?90° ??ADM??NMB
??DHM??MBN?MD?. D C N H A M B E
（2）在AD上取AH=AM，连MH，则易得DH=BM，类比（1）可证得△DHM≌△NBM， ?MD?MN
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结论：无论M点在AB上的位置怎样，结论DM=MN总成立。
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课后练习
1 已知：如图4-44所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH为矩形．
分析 证明四边形EFGH为矩形有几个方法．而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形．由于OE⊥AB，OH⊥AD，所以立即看出OE=OH．这样EFGH明显是矩形了．
证明 如图4-44所示，由于OA平分∠A，并且OE⊥AB，OH⊥AD，由角平分线的性质知道OE=OH．同理，
OE=OF，OF=OG，OG=OH．
所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形．
2 已知：如图4-45所示，五边形ABCED中，AB=BC=CE=ED =DA，并且∠CED= 2∠AEB．求证：四边形ABCD为菱形．
分析 在四边形ABCD中，已知AB=BC=AD，因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了．在ABCD中，已知AD=BC，因此只要证明了AD∥BC问题就解决了．由于∠CED=2∠AEB，从而在∠AEB内部作射线EF，使∠AEF=∠AED，同时也就有∠BEF=∠BEC．而由于ED=DA，所以∠EAD=∠AED，从而∠AEF=∠EAD，这就有AD∥EF．至此，问题已经解决了．
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菱形、正方形综合
