凉菜
菱形
一、基础知识梳理
1. 菱形的判定定理：
①四条边都相等的四边形是菱形。
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 2. 菱形的性质定理：
①菱形四条边都相等。
②菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。 3. 菱形的对称性：
菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4. 菱形的面积：
平行四边形面积法则适用于求平行面积。 两条对角线的乘积的一半。
二、典型例题
2.1典型例题---菱形的基本性质
例1、 已知：如图所示，在菱形ABCD中，AE?CD，且AE=OD，求?ADC的度数。
A B O D E C 解：∵四边形ABCD是菱形
??AOD?____________。 在Rt?AOD和Rt?DEA中? ?Rt?AOD?Rt?DEA
?AD?AD
?AE?OD??OAD??EDA即?CAD??ADC
∵四边形ABCD是菱形
??BAC??CAD ??BAC??CAD??ADC
??ADC?°.推广1、在菱形ABCD中，已知∠ADC=120°，AC=123cm。求BD的长；求菱形ABCD的面积。
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D A O C B
例2、在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E；AF⊥CD于点F；且E，F分别是BC，CD的中点，求∠EAF。
D C F A E B
推广1、在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DE，则∠
CDF等于？
D A F C E B
2.2典型例题---菱形的判定
例1、△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，E为AD延长线上一点，CF∥连接BF、CE，求证：平行四边形BECF是菱形。
F 页脚内容
A BE交AD于F，
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E
D C E 凉菜
推广1、平行四边形ABCD，AC为对角线，EF垂直平分AC交AD与E点，交BC于F点；证明：四边形
AFCE是菱形.
A F D O B E C
正方形
一、基本知识梳理
1.1、 正方形的性质：
（1）正方形四个角都是直角，四条边都相等。
（2）正方形两对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。 （3）正方形的边长与对角线长的比为1:2
1.2、 正方形的对称性：
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。 1.3、正方形的判定定理：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
注：证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角线关系出
发直接证其是正方形。
二、典型例题
例1、 如图所示，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且?EAF?45°，求证：EF=BE+DF。
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A D F B E C
证明：将△ADF旋转至△ABG，则?ADF??ABG ?AF?，?1?，DF?BG
??EAF?45°??1??BAE?45°
??2??BAE?45°即?GAE?45°??AEF??(SAS)?EF?EG?EB?BG?EB?。
A D 1 2 F G B E C
例2. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA
以同样的速度向B、C、D、A各点移动。 （1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。 （2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？
A F D P E B Q C
分析：（1）易证四边形PQEF是正方形
（2）小题是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即AP//CE，四边形APCE是平行四边形，易知PE与AC平分于O点。
（3）小题中显然当P、Q、E、F分别运动至正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小情形时
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可根据S正?1PE2，而PE最小时为PE?AB，此时PE?BC。 2 解：（1）
证明：在正方形ABCD中，AB?BC?CD?AD ?BP?QC?ED?FA
??BAD??B??BCD??D?90°
??AFP??BPQ??CQE??DEF?FP?PQ?QE?EF，?APF??PQB
易证：?FPQ?___________。 ∴四边形PQEF为正方形。 （2）连结AC交PE于O， ?AP//EC
∴四边形APCE为平行四边形 又∵O为对角线AC的中点 ∴对角线PE总过AC的中点
A F D P O E B Q C
（3）当P运动到B重合时，四边形PQEF的面积最大，等于原正方形面积。 当PE?AB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半。
例3、（1）已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN?DM交?CBE的平分
线于N（如图所示）。MD与MN的大小关系怎样？
D C N A M B E
（2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变（如图所示），MD
与MN的大小关系发生了变化吗？
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菱形、正方形综合
