主题2 复数、平面向量
1．复数
掌握2类复数代数形式运算的方法
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．如T2.
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．如T1.
1．(2024·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( ) A．－1－i C．1－i
D [由z(1＋i)＝2i，得z＝故选D.]
2．(2024·西安质量检测)设i是虚数单位，复数(a＋i)(1＋2i)为纯虚数，则实数a为( )
A．－2 1C．－
2
B．2 1D. 2
?a－2＝0，?
B．－1＋i D．1＋i
2i2i1－i2i
＝＝1＋i1＋i1－i
1－i
＝i(1－i)＝1＋i. 2
B [因为(a＋i)(1＋2i)＝a－2＋(2a＋1)i，且由题知其为纯虚数，所以?解得a＝2，故选B.]
??2a＋1≠0，
3＋i
3．(2024·长沙模拟)已知i是虚数单位，若＝1－i，则z的共轭复数为( )
zA．1－2i C.2－22i
B．2－4i D．1＋2i
3＋i
1－i
1＋i2＋4i
＝＝1＋2i，z的共轭复数1＋i2
3＋i3＋i
A [因为＝1－i，所以z＝＝
z1－i为1－2i，故选A.]
4．(2024·全国卷Ⅰ)设z＝
3－i
，则|z|＝( ) 1＋2i
A．2 B.3 C.2 D．1 3－i
C [∵z＝＝1＋2i
3－i1＋2i1－2i1－7i
＝，
1－2i5
- 1 -
∴|z|＝
?1?2＋?－7?2＝2.故选C.] ?5??5?????
i
(m∈R，i为虚数单位)的点位m－i
5．(2024·郑州第一次质量检测)在复平面内表示复数于第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) C．(0，＋∞) C [由题意，第二象限，
1－??m＋1＜0，所以?m??m＋1＞0，
22
B．(－∞，0) D．(1，＋∞)
iim＋i1m＝＝－2＋2i，因为在复平面内该复数对应的点位于2
m－im＋1m＋1m＋1
解得m＞0，即m∈(0，＋∞)，
故选C.]
2．平面向量的线性运算
解决平面向量问题的3种常用方法
(1)直接法
求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解．这种解题思路，我们不妨称之为按“图”处理．如T1，T2.
(2)建系法：处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性．如T3.
(3)基底法：求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解．理论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2的代数运算问题．如T5.
→
1．[一题多解]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( ) 3→1→A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44
1→3→
B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44
A [法一：(直接法)作出示意图如图所示． →
EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.
→→
1→
21→2
12
1→2
→
1→2
→
3→41→4
故选A.
- 2 -
法二：(建系法)不妨设△ABC为等腰直角三角形， π
且∠A＝，AB＝AC＝1.
2
建立如图所示的平面直角坐标系，
?11??11?则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D?，?，E?，?. ?22??44?
→→
故AB＝(1,0)，AC＝(0,1)， →
????EB＝(1,0)－?，?＝?，－?， 4444
?
??
?
→3→1→
即EB＝AB－AC.]
44
→→→→
2．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是
1131
( )
1123A. B. C. D. 3234
→→→→→→→→→→→→
C [因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝PB－PA，所以PC＝－2PA＝2AP，即P是AC2S△PBCPC2
边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.]
3S△ABCAC3
3．[一题多解](2024·太原模拟)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是
BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝( )
A．2 6
C. 5
8B. 38D. 5
→→→
D [法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，
→?1?→?1?→
则AM＝?1，?，BN＝?－，1?，AC＝(1,1)．
?2??2?→→→?1λ?∵AC＝λAM＋μBN＝?λ－μ，＋μ?，
22??1
λ－μ＝1，??2∴?1??2λ＋μ＝1，
6
λ＝，??5解得?2
μ＝??5，
- 3 -
8
∴λ＋μ＝，故选D.
5
→→1→→→→→?μ?→?λ1→→?→
法二：由AM＝AB＋AD，BN＝－AB＋AD，得AC＝λAM＋μBN＝?λ－?AB＋?＋μ?AD，
2?22??2?→→→
又AC＝AB＋AD，
1
λ－μ＝1，??2∴?λ??2＋μ＝1，
6
λ＝，??5解得?2
μ＝??5，
8
∴λ＋μ＝，故选D.]
5
4．(2024·贵阳监测)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数
k＝________.
－6 [a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.]
5．[一题多解]在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．
xy
6
[法一：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e15
－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x??2λ－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以?
?λ?
x－y＝1，
x－2y＝－2，
3
x＝，??λ所以?5
y＝??2λ，
x6
则的值为. y5
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2,1)，b＝(－2，－2)，c＝(1，－2)，因为c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则c＝λ(xa＋yb)，其中λ≠0，即
??1＝λ2x－2y，
?
?－2＝λx－2y，?
3
x＝，??λ解得?5
y＝??2λ，
x6
∴＝. y5
- 4 -
]
3．平面向量的数量积
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两
个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线，如T3.
→→
1．[一题多解]在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则AB·AC＝( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16
→→→→AC2
D [法一：因为cos A＝，所以AB·AC＝|AB||AC|·cos A＝AC＝16，选D.
AB→→→→→→→→2
法二：AB在AC上的投影为|AB|cos A＝|AC|，故AB·AC＝|AC|·|AB|cos A＝AC＝16，故选D.]
2．(2024·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.
ππ2π5π B. C. D. 6336
B [设a与b的夹角为θ，
∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|＝0. 又a·b＝|a||b|·cos θ，|a|＝2|b|， 122
∴2|b|cos θ－|b|＝0，∴cos θ＝.
2π
又0≤θ≤π，∴θ＝.
3故选B.]
3．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
2
?1?A.?－，2?∪(2，＋∞) ?2??1?C.?－，＋∞? ?2?
B．(2，＋∞) 1??D.?－∞，－?
2??
A [因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a，b不共线，即－2λ－1＜0且－2＋
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2024版高考数学二轮复习第1部分主题2复数、平面向量教案(文)
