一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、B 3、A 4、D 5、B 6、D
二、计算题（本题共7小题，每小题10分，共70分）
11??1?x??. x?0xe?1x?1??ex?1?xex?1ex11??1lim?lim?lim??解：因为lim??x， 6分 ?xxxxx1、求极限lim?x?0?xe?1?x?0x(e?1)x?0e?1?xex?02e?xe2 所以lim?111?1?113x?0??x?ex?1?x?1???lim?1x?0??x?ex?1???limx?0x?1?2?1?2. 2、设??t?x?ecostd2y?，求?y?etsintdx2. 解：dyetsint?etdx?costetcost?etsint, d2ydx2?2e2t(etcost?etsint)3?2et(cost?sint)3 3、设f(x)??x2sint1tdt，求?10xf(x)dx.
解：?10xf(x)dx?1121211122?0f(x)dx?2xf(x)0?2?0xf?(x)dx
?1f(1)?12?1110sinx2dx2?2f(1)?2cosx2120?1
2[f(1)?cos1?1].4、设z?u2v?uv2，u?xcosy，v?xsiny，求?z?z?x和?y.
解：?z?x??z?u?u?x??z?v?v?x?(2uv?v2)cosy?(u2?2uv)siny，
?z?y??z?u?u?y??z?v?v?y?(v2?2uv)xsiny?(u2?2uv)xcosy. 5、将函数f(x)?3x在x0?0点处展开成泰勒级数。
解：因为ex??xnn??0n!,x?(??,??)， 所以f(x)?3?eln3?n??(xln3)n?0n!?n??(ln3)nxx?0n!xn,x?(??,??). 6、计算二重积分??xyx2?y2dxdy，其中D??(x,y)|0?x?1,0?y?x?.
D解：
??xyx2?y2dxdy?1xdxxD?0?0yx2?y2dy
10分 5分 10分 5分 10分 22?11422?1?xdx?.
3?015222227、计算?xds，其中L为球面x?y?z?a被平面x?y?z?0所截得的圆周。
L解：由对称性知
2?Lx2ds??y2ds??z2ds，
LL1a2222 所以?xds??(x?y?z)ds?L3L323ds??L3?a.
三、证明题（本题共5小题，每小题10分，共50分）
1、设f(x)在开区间?0,1?内可导，且当x??0,1?时有f??x??1，证明：数列?f??? 收敛。
证明：对任意的正整数n,m?1，根据拉格朗日中值定理可得
??1????n??1111?11?11f()?f()?f?(?)?????，其中?介于和之间。
nmnm?nm?nm??1????n??2、设f(x)在[a,?b]上连续，又有{xn}?[a,b],使得limf(xn)?A, 证明：存在x0?[a,b]，
所以数列?f???满足柯西收敛准则，故收敛。
n??使得f(x0)?A.
证明：由致密性定理，存在子列{xnk}?{xn}，使得limxnk?x0，利用数列极限的保不等式性
k??可知x0?[a,b].由f(x)在[a,?b]上连续可得
3、叙述并证明根的存在定理。
f(x0)?limf(xnk)?A.
k??解：根的存在定理：若函数f在[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)?0.
证：令E?{x|f(x)?0,x?[a,b]}，则E为非空有界数集。由确界原理，E必有上确界。 设x0?supE，利用函数极限的保号性可以证明f(x0)?0.
24、设二元函数f在R上连续。若2lim22x?y???f(x,y)?0，试研究f在R2上的最大值与最小值是否至少有
一个存在？假若f在R上的最大值与最小值至少必有一个存在，请给出严格论证，否则请举例说明。
解：f在R上的最大值与最小值至少有一个存在。 3分
2如果f(x,y)?0，结论显然。如果函数f不恒为零，取(x0,y0)?R，使得f(x0,y0)?0。
2若f(x0,y0)?0，由
x?y???lim22f(x,y)?0，可知存在R?0，使得当x2?y2?R2时，成立
f(x,y)?f(x0,y0).f(x,y)在非空有界闭集(x,y)|x2?y2?R2上必定取到它在该非空有
界闭集上的最大值，此最大值即是它在R2上的最大值。 8分 若f(x0,y0)?0， 类似可以证明f在R2上可取得最小值。 10分
5、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：若f(x)在[a,b]上不是线性函数（常数或一次代数多项式），则必存在?,??(a,b)使得 f?(?)?
证明：由于f(x)在[a,b]上不是线性函数，所以存在??(a,b)，使得点(?,f(?))不在(a,f(a))和(b,f(b))的连线上。
若点(?,f(?))在(a,f(a))和(b,f(b))连线的上方。则
??f(b)?f(a)?f?(?) .
b?af(?)?f(a)f(b)?f(a)f(b)?f(?)??.
??ab?ab??
利用拉格朗日中值定理，存在??(a,?)，??(?,b)使得
f?(?)?
f(?)?f(a)f(b)?f(a)f(b)?f(?)???f?(?).
??ab?ab??若点(?,f(?))在(a,f(a))和(b,f(b))连线的下方，类似可以证明结论成立。
西南大学2012年《数学分析》考研试题答案
