2020
课时分层作业(八) 生活中的优化问题举例
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 C．40,20
B．30,15 D．36,18
512
A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2xx＋
512512512
(x>0)，则L′＝2－2.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．] xx162．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为
( )
A．2和6 C．3和5
B．4和4 D．以上都不对
3
3
3
2
B [设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x＋(8－x)＝8－192x＋24x(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为
( ) 【导学号：31062075】
A．3
cm 3
103B． cm
3203D． cm
3
163C． cm
3
112222
D [设圆锥的高为x cm，则底面半径为20－x cm.其体积为V＝πx(20－x)(0＜x＜20)，V′＝π(400
332032032032032
－3x)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′
3333203
＜0.所以当x＝时，V取最大值．]
3
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )
R3A．和R 22
47C．R和R 55
B．545
R和R 55
D．以上都不对
2
2
2
2
B [设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2R－x，则l＝2x＋4R－x(0＜x＜R)，l′
2020 ＝2－4xR2－x.令l′＝0，解得x1＝25555R，x2＝－R(舍去)．当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′5555＜0.所以当x＝
5545
R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R， R．] 555
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R1??400x－x2，0≤x≤400，
2与年产量x的关系是R(x)＝?
??80 000， x>400，
A．100 C．200
D [由题意，得总成本函数为
B．150 D．300
则总利润最大时，每年生产的产品是( )
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝ x??300x－－20 000，0≤x≤400，
2?
??60 000－100x，x>400.
2
??300－x，0≤x≤400，所以P′(x)＝?
?－100，x>400.?
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时， 总利润P(x)最大．]
二、填空题
6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x－x(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.
【导学号：31062076】
[解析] 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x－(2x－x)＝－2x＋18x(x＞0)， ∴y′＝－6x＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． [答案] 6
13392
7．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x－x－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应
32定为________．
[解析] 由题设知y′＝x－39x－40， 令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
13392
故函数y＝x－x－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
32
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
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由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. [答案] 40
8．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
1[解析] 设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.
4由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x＋2.2x＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m)，这时高为1.2 m.
[答案] 1.2 m
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 【导学号：31062077】
[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv， 因为v＝10，p＝6，所以k＝于是有p＝0.006v.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v119632
＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v＋96)＝0.006v＋. 3
3
3
3
2
3
2
6
3＝0.006. 10
vvvq′＝0.012v－2＝2(v3－8 000)，
vv令q′＝0，解得v＝20. 当v＜20时，q′＜0； 当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
10．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． [解] (1)设日销售量为x，则40＝10，
ee
x960.012
kk 2020
10e40
∴k＝10e，则日售量为x件．
e
10e40x－30－a则日利润L(x)＝(x－30－a)x＝10e； xee
答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e(2)L′(x)＝10e
40
40
40
40
x－30－ae
x.
31＋a－x. xe
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35， 当35＜x＜41时，L′(x)＜0.
∴当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e； ②当4＜a≤5时，35≤a＋31≤36，
令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e
??105－ae，2≤a≤4
综合上得L(x)max＝?9－a??10e，4＜a≤5
5
9－a5
.
.
5
答：当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e；当4＜a≤5时，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e
[能力提升练]
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) A.??π
?6?C.??π ?4?
9－a.
?l?3?l?3
B.??π ?3?1?l?3
D.??π 4?4?
?l?3
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝则V′＝lπr－6πr，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
6∴r＝是其唯一的极值点．
6
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为??π.]
6?6?
2
l－4r2
，V＝πrh＝πr－2πr?0＜r＜?.
4?2?
2
l23
?
l?
lll?l?3
2．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1-4-2)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
图1-4-2
A．8 cm
B．9 cm
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C．10 cm D．12 cm
3
C [设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm， 则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x ＝4x－276x＋4 320x(0 因为当0 2 2 3 2 V′(x)<0， 所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值， 所以容器高x＝10 cm时，容器体积V(x)最大．] 3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________. 【导学号：31062078】 [解析] 由题意设燃料费y与航速v间满足y＝av(0≤v≤30)， 13 又∵25＝a·10，∴a＝. 40 设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y， 800800320 00032 则y＝av×＋×400＝20v＋. 3 vvv320 000由y′＝40v－＝0，得v＝20<30. 2 v当0 4．如图1-4-3，内接于抛物线y＝1－x的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________． 2 图1-4-3 ??[解析] 设CD＝x，则点C的坐标为?，0?， ?2? x
2020高中数学 课时分层作业8 生活中的优化问题举例 新人教A版选修2-2
