A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形
的外心，由图可知
，故外接球面积为
.
【考点】三视图.
【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为
则其体对角线长为
;长方体的外接球球心是其体对角线中
点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.
12．已知f(x)是定义域为(0,??)的单调函数，若对任意的x?(0,??)，都有
f[f(x)?log1x]?4，且方程f(x)?3?a在区间(0,3]上有两解，则实数a的取值
3范围是（ ） A．0?a?1 【答案】A 【解析】【详解】
因为函数f?x?是定义域为(0,??)的单调函数，对于任意的x?(0,??)，
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B．a?1
C．0?a?1
D．a?1
都有f[f(x)?log1x]?4，
3 所以必存在唯一的正实数m满足f(x)?log1x?m，?f?m??4，
3 所以f(m)?log1m?m，可得4?log1m?m，即log1m?m?4，所以m?3，
333 所以f(x)?log1x?3，所以函数f(x)?3?log1x，
33由方程f(x)?3?a在区间(0,3]上有两解，则log1x?a在区间(0,3]上有两解，
3 设g?x??log1x，作出函数g?x?在(0,3]上的图象，如图所示，
3 结合图象，可得方程f(x)?3?a在区间(0,3]上有两解， 实数a满足0?a?1，故选A.
点睛：本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据
二、填空题
13．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ． 【答案】
f[f(x)?log1x]?4，等价转换求得函数f?x?的解析式是解答的关键.
31 12(2,2)、(3,1)【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6?6个，点数和为4的有(1,3)、
共3个，故P?31?． 6?61214．已知数列?an?满足a1?1，an?1?3an?4，则an等于______. 【答案】3n?2
【解析】构造等比数列，根据基本量写出等比数列的通项公式，则an可求. 【详解】
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由an?1?3an?4，得an?1?2?3?an?2?，且a1?2?3?0， 所以数列an?2?0，
an?1?2?3，
an?2因此?an?2?是以3为首项，公比为3的等比数列，
n?1nn故an?2?3?3?3，因此an?3?2.
故答案为：3n?2. 【点睛】
本题考查利用构造数列法求数列的通项公式，属基础题.
x2y215．已知椭圆C：??1与圆M：
82x2?y2?22x?42y?10?r2?00?r?2，过椭圆C的上顶点P作圆M的两
条切线，分别与椭圆C相交于A、B两点（不同于P点），则直线PA与直线PB的斜率之积等于______. 【答案】1
【解析】求得点P的坐标，设出切线方程，利用点到直线的距离公式求得关于切线斜率的方程，利用韦达定理即可容易求得结果. 【详解】
圆心为M?2,22，P0,2， 设切线为y?kx???????2，
由圆心到直线距离d??2k?21?k2?r，
?2?r?k22?4k??2?r2??0，k1k2?1.
故答案为：1. 【点睛】
本题考查由直线与圆相切求参数，涉及椭圆方程，属综合基础题. 16．在?ABC中，已知边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a?5，
2sin2B?3sin2C?2sinAsinBsinC?sin2A，则?ABC的面积S?______.
【答案】
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【解析】利用正余弦定理，结合均值不等式求得A，以及b,c两边关系，结合余弦定理求得c2，则问题得解. 【详解】
正弦定理得2b2?3c2?2bcsinA?a2，
由余弦定理得2b2?3c2?2bcsinA?b2?c2?2bccosA，
b2?2c2即?sinA?cosA，
2bcb2?2c22b2?2c2因为??2，
2bc2bc故sinA?cosA????2sin?A???2，
4??2，当且仅当A?故可得sinA?cosA?也即当b??4??2，即A?3?时取得. 42c时取得等号，
所以a2?b2?c2?2bccosA?5c2，即c2?1. 所以?ABC的面积为S?故答案为：【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.
三、解答题
17．设p:实数x满足x2?4ax?3a2?0，q:实数x满足x?3?1. （1）若a?1，且p?q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a?0且?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
111bcsinA?c2?. 2221. 24?a?2 3【解析】（1）解一元二次不等式求得p中x的取值范围，解绝对值不等式求得q中x的
【答案】（1）?x|2?x?3?（2）
取值范围，根据p?q为真，即p,q都为真命题，求得x的取值范围.
（2）解一元二次不等式求得p中x的取值范围，根据?p是?q的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围. 【详解】
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对于q：由x?3?1得?1?x?3?1，解2?x?4
（1）当a?1时，对于p：x?4x?3??x?3??x?1??0，解得1?x?3，由于p?q2?2?x?4p,q为真，所以都为真命题，所以?解得2?x?3，所以实数x的取值范围
?1?x?3是?x|2?x?3?.
（2）当a?0时，对于p：x?4ax?3a??x?a??x?3a??0，解得a?x?3a.由
22?a?2?qp?pq于是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以?，解得3a?4?44?a?2.所以实数a的取值范围是?a?2. 33【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题. 18．在测试中，客观题难度的计算公式为Pi?Ri，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对N该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 考前预估难度Pi
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：
1 0.9 2 0.8 3 0.7 4 0.6 5 0.4 1 题号 学生编号 1 2 × √ 2 3 4 5 √ √ √ √ √ √ √ × 第 10 页 共 18 页
2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高二上学期入学考试数学试题（解析版）
