求导数可得f′(0)=0,可排除D,进而可得答案.
【解答】解:由题意可知:f(﹣x)=(1﹣cosx)sin(﹣x)=﹣f(x), 故函数f(x)为奇函数,故可排除B,
又因为当x∈(0,π)时,1﹣cosx>0,sinx>0, 故f(x)>0,可排除A,
又f′(x)=(1﹣cosx)′sinx+(1﹣cosx)(sinx)′ =sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x, 故可得f′(0)=0,可排除D, 故选C
10.(5分)(2013?新课标Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10 B.9
C.8
D.5
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式,求出cosA的值,再由a与c的值,利用余弦定理即可求出b的值.
【解答】解:∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0,即cos2A=∴cosA=, 又a=7,c=6,
根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,即49=b2+36﹣解得:b=5或b=﹣则b=5. 故选D
11.(5分)(2013?新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
(舍去),
b,
,A为锐角,
A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.
【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4. ∴长方体的体积=4×2×2=16, 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π; 故选A.
12.(5分)(2013?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=≥ax,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.[﹣2,1]
D.[﹣2,0]
,若|f(x)|
【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可
得a的范围.
【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,
由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,
求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2, 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0] 故选:D
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.
13.(5分)(2013?新课标Ⅰ)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若?=0,则t= 2 .
【分析】由于?=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得
=0,经过化简即可得出.
【解答】解:∵∴tcos60°+1﹣t=0,∴1故答案为2.
14.(5分)(2013?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件
,则z=2x﹣y
,
,∴
=0,
=0,解得t=2.
的最大值为 3 .
【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可. 【解答】解:不等式组表示的平面区域如图所示, 由
得A(3,3),
z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z,z最大时,y值最小, 即:当直线z=2x﹣y过点A(3,3)时, 在y轴上截距最小,此时z取得最大值3. 故答案为:3.
15.(5分)(2013?新课标Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .
【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式,设球的半径为R,根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π,我们易求出截面圆的半径为1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表面积.
【解答】解:设球的半径为R,∵AH:HB=1:2,∴平面α与球心的距离为R, ∵α截球O所得截面的面积为π, ∴d=R时,r=1,
故由R2=r2+d2得R2=12+(R)2,∴R2= ∴球的表面积S=4πR2=故答案为:
16.(5分)(2013?新课标Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ= ﹣
.
,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正
,与sin2θ+cos2θ=1
.
.
【分析】f(x)解析式提取
弦函数,由x=θ时,函数(fx)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=联立即可求出cosθ的值. 【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=cosα=
,sinα=
),
(
sinx﹣
cosx)=
sin(x﹣α)(其中
∵x=θ时,函数f(x)取得最大值, ∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=又sin2θ+cos2θ=1, 联立得(2cosθ+故答案为:﹣
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2013?新课标Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=﹣5.
(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{
}的前n项和.
)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣
,
.
【分析】(Ⅰ)设出等差数列{an}的首项和公差,直接由S3=0,S5=﹣5列方程组求出,然后代入等差数列的通项公式整理; (Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的通项公式,代入数列{整理,则利用裂项相消可求数列{
}的通项中进行列项
}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的首项为a1,公差为d,则
.
由已知可得,即
,解得a1=1,d=﹣1,
故{an}的通项公式为an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)?(﹣1)=2﹣n; (Ⅱ)由(Ⅰ)知从而数列{Sn==
18.(12分)(2013?新课标Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
. }的前n项和
.
【分析】(Ⅰ)利用平均数的计算公式即可得出,据此即可判断出结论; (Ⅱ)利用已知数据和茎叶图的结构即可完成.
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标一)及答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)