求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x）， 故函数f（x）为奇函数，故可排除B，
又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0， 故f（x）＞0，可排除A，
又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′ =sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x， 故可得f′（0）=0，可排除D， 故选C
10．（5分）（2013?新课标Ⅰ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ） A．10 B．9
C．8
D．5
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=∴cosA=， 又a=7，c=6，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，即49=b2+36﹣解得：b=5或b=﹣则b=5． 故选D
11．（5分）（2013?新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（舍去），
b，
，A为锐角，
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． ∴长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π； 故选A．
12．（5分）（2013?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1]
D．[﹣2，0]
，若|f（x）|
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可
得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，
由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，
求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）（2013?新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若?=0，则t= 2 ．
【分析】由于?=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得
=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵∴tcos60°+1﹣t=0，∴1故答案为2．
14．（5分）（2013?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件
，则z=2x﹣y
，
，∴
=0，
=0，解得t=2．
的最大值为 3 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示， 由
得A（3，3），
z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小， 即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时， 在y轴上截距最小，此时z取得最大值3． 故答案为：3．
15．（5分）（2013?新课标Ⅰ）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．
【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R， ∵α截球O所得截面的面积为π， ∴d=R时，r=1，
故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2= ∴球的表面积S=4πR2=故答案为：
16．（5分）（2013?新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣
．
，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正
，与sin2θ+cos2θ=1
．
．
【分析】f（x）解析式提取
弦函数，由x=θ时，函数（fx）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=联立即可求出cosθ的值． 【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=cosα=
，sinα=
），
（
sinx﹣
cosx）=
sin（x﹣α）（其中
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值， ∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=又sin2θ+cos2θ=1， 联立得（2cosθ+故答案为：﹣
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2013?新课标Ⅰ）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{
}的前n项和．
）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣
，
．
【分析】（Ⅰ）设出等差数列{an}的首项和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{整理，则利用裂项相消可求数列{
}的通项中进行列项
}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的首项为a1，公差为d，则
．
由已知可得，即
，解得a1=1，d=﹣1，
故{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）?（﹣1）=2﹣n； （Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列{Sn==
18．（12分）（2013?新课标Ⅰ）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
． }的前n项和
．
【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论； （Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标一）及答案
