∵ △ABC是等腰直角三角形，CA?CB，且?NCM?45?， ∴ ?DCN??DCM??MCA??ACN??DCM?45?，
?BCN??BCA??NCA?90??(45???MCA)?45???MCA?45???DCM。∴ ?DCN??BCN。 又CD?CA?CB，CN?CN。
∴ △DCN≌△BCN。 ∴ ND?NB，?CDN??CBN?45?。 又由△MDC≌△MAC，知
?CDM??CAM?180???CAB?180??45??135?。
∴ ?MDN??MDC??NDC?135??45??90?。 ∴ MD?DN。 又MD?MA，∴ MN2?DM2?DN2?AM2?BN2。 另解：如图，△CBN沿CN翻折得△CDN，则△DCN≌△BCN。 ∴ CD?CB?CA，DN?BN，?CDN??CBN?45?，?DCN??BCN。 ∵ ?NCM?45?，
∴ ?DCM??DCN??MCN??BCN?45??90???ACN?45?
?45???ACN??ACM。
又CD?CA，CM?CM。
∴ △DCM≌△ACM。
∴ MA?MD，?CDM??CAM?135?，?MDN??CDM??NDC?90?。 ∴ MN2?DM2?DN2?AM2?BN2。
17.【解答】 ∵ n?2个数至多可以表示
(n?1)?n?(n?1)?L?2?1?(n?1)(n?2)个不同的且为正数的差。 2(n?1)(n?2)∴ 依题意有，?21，即(n?5)(n?8)?0。
2∴ n?5。 下面证明n?5不符合要求。 若n?5符合要求，则由n?5时，(n?1)(n?2)由0，a1，a2，?21知，
2a3，a4，a5，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21
个数：a1，a2，a3，a4，a5，21，a2?a1，a3?a1，a4?a1，a5?a1，21?a1，
a3?a2，a4?a2，a5?a2，21?a2，a4?a3，a5?a3，21?a3，a5?a4，21?a4，21?a5互不相同。于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。
记这21个数的和为S，则
S?(a1?5a1)?(2a2?4a2)?(3a3?3a3)?(4a4?2a4)?(5a5?a5)?6?21??4a1?2a2?2a4?4a5?6?21。可见S为偶数。
另一方面，S?1?2?3?L?21?盾。
21?22?231为奇数，与S为偶数矛2∴ n?5不符合要求。 （不唯一） n?6符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。
可以验证：用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。
（1?21?20，2?21?19，3?8?5，4?12?8，5?5?0，6?8?2，
7?19?12，8?20?12，9?21?12，10?12?2，11?19?8，12?20?8，13?21?8，14?19?5，15?20?5，16?21?5，17?19?2，18?20?2，
） 19?19?0，20?20?0，21?21?0。
可见n的最小值为6。 18.【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；
（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO， ∴∠ADO=∠BHO=90°， 在△ADO与△BHO中，
，
∴△ADO≌△BHO（AAS）， ∴OH=OD， 又∵OA=OB， ∴AH=BD；
（2）解：连接AB、AF，如图1所示， ∵AO是半径，AO⊥弦BF， ∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
在Rt△ADB与Rt△BHA中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL）， ∴∠ABF=∠BAD， ∴∠BAD=∠AFB， 又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，∴
=
，
∴BA2=BE?BF， ∵BE?BF=y， ∴y=BA2，
∵∠ADO=∠ADB=90°， ∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2， ∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2， ∵直径BC=8，BD=x， ∴AB2=8x，
则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE?BF=y，BF=2BH， ∴BE?BH=y，
∵△BED∽△BOH， ∴
=
，
∴OB?BD=BE?BH， ∴4x=y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：连接OF，如图2所示，
∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G， ∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G， ∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD， ∴∠G=∠AOD， ∴AG=AO=4， ∵∴∠AOD=∠AOF， ∴∠G=∠AOF， 又∵∠GFO是公共角， ∴△FAO∽△FOG， ∴
=
，
∵AB2=8x，AB=AF，
【2020-2021自招】山东青岛第二中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
