智浪教育-普惠英才
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第一试
2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分
一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分 1、 将a千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程
（ ）
???a?x??1?150?. （B）a?100??a?x??150. 00001?100??x?1?150?. （C）a?100?x?a?150. （D）a?0000（A）a1?1002、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a﹪，则所用的时间减少b﹪，
则a、b的关系是（ ） （A）b??a100a100a100 （B）b? （C）b? （D）b? 001?a100?a1?a1?a00那么实数m的最大值是（ ） x?1?m?x?2恒成立，
3、当x?1时，不等式x?1?（A）1． （B）2。 （C）3。 （D）4。
4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数
y?2x?1与y?kx?k的图象的交点是整点，则k的值有（ ）个
（A）2． （B）3。 （C）4。 （D）5。 5、（英语意译）已知整数x满足不等式2?2x?1?6，则x的值是（ ） （A）8． （B）5。 （C）2。 （D）0。
6、若三角形的三条边的长分别为a、b、c，且ab?ac?bc?b?0.则这个三角形一定是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
7、如图1，点C在线段BG上，四边形ABCD是一个正方形，AG与BD、CD分别相交于点E和F，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ） （A）
2223168。 （B）。 33A5E3D（图1） （C）4。 （D）5。
8、n的值是（ ） 2?1能分解成n个质因数的乘积，（A）6． （B）5。 （C）4。 （D）3。
B16FCG 1
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9、若关于x、y的方程组??x?ay?1?0,没有实数解，则（ ）
?bx?2y?a?0（A）ab??2（B）ab??2且a?1.（C）ab??2（D）ab??2且a?2. 10、如图2，∠AOB= 450，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C。若PC=2，则OC的长是（ ） （A）7．（B）6。（C）2?22。（D）2?
二、A组填空题（每小题4分，共40分。）
11、化简：
AP23。
O（图2） CB 9?452?5? 。
A?3x?2y?k?112、若关于x、y的方程组?的解使4x?7y?2,则k
2x?3y?2?MBNC（图3） 的取值范围是 。
13、如图3，平行于BC的线段MN把等边⊿ABC分成一个三角形和一个四边形，已知⊿AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是 。
14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 瓦。
15、已知自然数a、b、c满足a?b?c?42?4a?4b?12c和a?a?2?0，则代数式
2222 111??的值是 。 abc216、已知A、B是反比例函数y?的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5。设
xO为原点，则⊿AOB的面积是 。
17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是 。
18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 。
19、A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲先乘汽车到达A、B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，C地与A地相距 km。
20、已知
b?ca?ca?b???k，则直线y?kx?k必经过点 。 abc2
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三、B组填空题（每小题8分，共40分。）
21、等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是 或 。
22、已知10个数x1，x2，x3，…，x10中，x1=10，对于整数n?1，有xn? ，x2x3?x10? 。
23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能出现的结果有 种；恰好选中男生甲和女生A的概率是 。
24、若关于x的方程x?nxn?1,则x1x2?
bbb?a?的解是x1?a,x2?xaa，那么方程
x?22的解是x1 = ，x2 = 。 ?a?x?1a?125、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然数是 和 。
参考答案： 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 A 8 C 9 A 10 C 题号 11 答案 题号 答案
12 13 4：3 14 130 15 1 16 16 1523 6；17 121 18 218 19 10 20 （-1，0） 25 37；15 2?5k?3 21 22 2；384 24 750;1000 1 6a;a?3 a?1
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第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（含提示）
初二 第一试
2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分
一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分 2、 将a千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程
（ ）
???a?x??1?150?. （B）a?100??a?x??150. 00001?100??x?1?150?. （C）a?100?x?a?150. （D）a?0000（A）a1?100提示：配制问题——只加溶质，溶剂量不变；只加溶剂，溶质不变。
2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a﹪，则所用的时间减少b﹪，则a、b的关系是（ ） （A）b??a100a100a100 （B）b? （C）b? （D）b? 001?a100?a1?a1?a00那么实数m的最大值是（ ） x?1?m?x?2恒成立，
提示：行程问题——时间=路程÷速度；最好在时间上找等量关系，即 方程。 3、当x?1时，不等式x?1?（A）1． （B）2。 （C）3。 （D）4。
提示：根据绝对值的意义，结合x的取值范围化简不等式，采用验证法，从最大的4开始验证。（题目问的是最大值！）
4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数
y?2x?1与y?kx?k的图象的交点是整点，则k的值有（ ）个
（A）2． （B）3。 （C）4。 （D）5。
提示：图象的交点坐标即是对应方程组的解。采用验证法求解。 5、（英语意译）已知正整数x满足不等式2?2x?1?6，则x的值是（ ） （A）8． （B）5。 （C）2。 （D）0。 提示：根据绝对值的意义，结合x的取值范围解不等式。
6、若三角形的三条边的长分别为a、b、c，且ab?ac?bc?b?0.则这个三角形一定是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形
提示：用分组分解法、提公因式法分解因式，再根据“如果两个数的积等于0，那么这两个数中至少有一个是0。”解答问题。
4
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7、如图1，点C在线段BG上，四边形ABCD是一个正方形，AG与BD、CD分别相交于点E和F，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ）
A5E3D168（A）。 （B）。 33（C）4。 （D）5。
提示：建议用比例测量法或已知数据组合法求解。
8、216?1能分解成n个质因数的乘积，n的值是（ ）
F（图1） BCG （A）6． （B）5。 （C）4。 （D）3。
提示：利用平方差公式因式分解，再根据“任何一个完全平方数与1的和（或差）都是质数”轻松求n值。 9、若关于x、y的方程组??x?ay?1?0,没有实数解，则（ ）
?bx?2y?a?0（A）ab??2（B）ab??2且a?1.（C）ab??2（D）ab??2且a?2. 提示：方程组没有实数解其实就是方程对应函数的图象没有交点，把方程组中的两个方程变形成一次函
A数的一般形式后，它们的“k”值相等而“b”值不相等！
P10、如图2，∠AOB= 450，OP平分∠AOB，PC⊥OB
于点C。若PC=2，则OC的长是（ ） （A）7．（B）6。（C）2?22。（D）2?0
2B3。
OC 提示：以点P为顶点作∠OPD=45，交OC边于点D，再借用勾股定理、“等角对等边”即可代换出正确选项。
二、A组填空题（每小题4分，共40分。）
11、化简：
（图2） 9?452?5? 。
提示：9?45?2?5 12、若关于x、y的方程组?是 。
提示：上式×2－下式即可与4x?7y?2代换出需要的不等式，进而求解。
13、如图3，平行于BC的线段MN把等边⊿ABC分成一个三角形和一个四边形，已知⊿AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比
A??2?3x?2y?k?1的解使4x?7y?2,则k的取值范围
?2x?3y?2
BMN5 C
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