?y?2x?2?联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得:?, 121y?x?x?2?42??x1?0?x2?6解得:?,?,
y??2y?10?1?2点P的坐标为(6,10).
综上所述:当?PCM是直角三角形时,点P的坐标为(?2,?2)或(6,10). ②当y=0时,
121x?x?2?0, 42解得:x1=-4,x2=2, ∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,-2),点B,B′关于点C对称, ∴点B′的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0且m≠2), ∴点M的坐标为?m,???1?m?2?, 2?m?4m?4?m?45m?4x?x?,直线B′M的解析式为y?,
2m?4m?22m?4m?2利用待定系数法可求出:直线BM的解析式为y??直线BB′的解析式为y=x-2. 分三种情况考虑,如图2所示:
m?4x?2,
2m?4?m?4x?2, 当直线l∥B′M且过点C时,直线l的解析式为y?2m?4当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y??13?1?Nm,?m?2?时,直线l的解析式为y?x?m?2, 当直线l∥BB′且过线段CM的中点?44?2?综上所述:直线l的解析式为y??m?4?m?43x?2,y?x?2或y?x?m?2.
2m?42m?44【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标;②利用待定系数法及平行线的性质,求出直线l的解析式.
7.(2015·广西中考真题)(2015崇左)如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A、B两点.
(1)则点A、B、C的坐标分别是A(__,__),B(__,__),C(__,__); (2)设经过A、B两点的抛物线解析式为y?1(x?5)2?k,它的顶点为F,求证:直线FA与⊙M相切; 4(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形.如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
A0)B0)C4)P4)【答案】(1)(2,,(8,,(0,;(2)证明见试题解析;(3)(5,,或(5,71),或(5,4?55). 【解析】
试题分析:(1)连接MC,则MC垂直于y轴,MA=MC=5,MD=4,由勾股定理可计算AD和DB; (2)把A、或B或C的坐标代入y=
,确定二次函数表达式y=
,连接MA,根据勾股
定理计算AF,由勾股定理逆定理判断MA⊥AF,从而说明FA是切线;
22(3)设P(x,4),当C为顶点时,在Rt△CMP1中用x表示CP1,根据CP1?BC列方程求解;当B为顶点时,22在Rt△BDP2中用x表示CP2,根据CP2?BC列方程求解;当P是顶点时,易知P和M重合.
试题解析:(1)连接MC,则MC垂直于y轴,MA=MC=5,MD=4,在Rt△AMD中,AD=理在Rt△BMD中,BD=3,∴A(2,0),B(8,0),C(0,4); (2)把A(2,0)y=
,AF=,解得k=-2AM2?MD2=3,同
,∴y=
2,∴F(5,-),连接MA,则MF=4+=
AD?FD=2,∴FA?AD?MF?22625,∴MA⊥AF,∴FA与⊙M相切; 16222(3)设P(x,4),BC2?80.当C为顶点时,在Rt△CMP1中,CP1?25?(x?4),∴25?(x?4)?80,
x=4?55,点P在x轴上方,故x=4?55,所以(4?55,4);
22当B为顶点时,在Rt△BDP2中,CP2?9?(x?4), ∴9?(x?4)2?80,x=4?71,点P在x轴上方,故
x=4?71,所以(4?71,4); 当P是顶点时,P和M重合,P3(5,4).
综上当P(4?55,4)、(4?71,4)或(5,4)时△PBC是等腰三角形. 考点:二次函数综合题.
28.(2019·天津中考真题)已知抛物线y?x?bx?c(b,c为常数,b?0)经过点A(?1,0),点M(m,0)是x轴
正半轴上的动点.
(Ⅰ)当b?2时,求抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)点D(b,yD)在抛物线上,当AM?AD,m?5时,求b的值; (Ⅲ)点Q(b?1332,yQ)在抛物线上,当2AM?2QM的最小值为时,求b的值. 24【答案】(Ⅰ)(1,?4);(Ⅱ)b?32?1;(Ⅲ)b?4. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)把b=2和点A(?1,0)代入抛物线的解析式,求出c的值,进行配方即可得出顶点坐标
(Ⅱ)根据点A(?1,0)和)点D(b,yD)在抛物线上和b?0得出点D(b,?b?1)在第四象限,且在抛物线对称轴
x?b的右侧.过点D作DE?x轴,垂足为E,则点E(b,0),再根据D、E两点坐标得出VADE为等腰直角三2角形,得出AD?(Ⅲ)根据点Q(b?2AE,再根据已知条件AM?AD,m?5,从而求出b的值
11b3,yQ)在抛物线上得出点Q(b?,??)在第四象限,且在直线x?b的右侧;取点N(0,1),22242AM?GM,此时2AM?2QM的值2过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M,得出最小;过点Q作QH的距离公式和
?x轴于点H,则点H(b?,0).再根据QH?MH得出m与b的关系,然后根据两点间
122AM?2QM的最小值为
【详解】
332,列出关于b的方成即可 4解:(Ⅰ)∵抛物线y?x?bx?c经过点A(?1,0), ∴1?b?c?0.即c??b?1.
22当b?2时,y?x?2x?3?(x?1)?4,
2∴抛物线的顶点坐标为(1,?4).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线的解析式为y?x?bx?b?1. ∵点D(b,yD)在抛物线y?x?bx?b?1上,
2∴yD?b?b?b?b?1??b?1.
22由b?0,得b?b?0,?b?1?0, 2b的右侧. 2∴点D(b,?b?1)在第四象限,且在抛物线对称轴x?如图,过点D作DE?x轴,垂足为E,则点E(b,0). ∴AE?b?1,DE?b?1.得AE?DE. ∴在Rt?ADE中,?ADE??DAE?45?. ∴AD?2AE.
由已知AM?AD,m?5, ∴5?(?1)?2(b?1).
∴b?32?1.
1,yQ)在抛物线y?x2?bx?b?1上, 2121b3∴yQ?(b?)?b(b?)?b?1???.
22241b3可知点Q(b?,??)在第四象限,且在直线x?b的右侧.
224(Ⅲ)∵点Q(b?考虑到2AM?2QM?2(2AM?QM),可取点N(0,1), 2如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M, 有?GAM?45?,得2AM?GM, 2则此时点M满足题意. 过点Q作QH?x轴于点H,则点H(b?,0).
?12在Rt?MQH中,可知?QMH??MQH?45. ∴QH?MH,QM?∵点M(m,0), ∴0?(?2MH.
b31b1?)?(b?)?m.解得m??. 24224332, 412b1332. ?)]?244∵2AM?2QM?∴2[(?)?(?1)]?22[(b?)?(∴b?4.
b214
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、勾股定理、等腰三角形的性质与判定等知识,关键是明确题意,作出合适的辅助线,利用数形结合的思想和二次函数的性质解答. 9.(2016·山东中考真题)在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′. (1)若抛物线过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标;
(3)若P为抛物线上的一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q构成平行四边形时,求
历年全国各地中考数学压轴题专题汇编——函数(100题)(解析版)
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