?y?2x?2?联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：?， 121y?x?x?2?42??x1?0?x2?6解得：?，?，
y??2y?10?1?2点P的坐标为(6,10)．
综上所述：当?PCM是直角三角形时，点P的坐标为(?2,?2)或(6,10)． ②当y=0时，
121x?x?2?0, 42解得：x1=-4，x2=2， ∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，-2），点B，B′关于点C对称， ∴点B′的坐标为（-2，-4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2）， ∴点M的坐标为?m,???1?m?2?, 2?m?4m?4?m?45m?4x?x?，直线B′M的解析式为y?，
2m?4m?22m?4m?2利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y??直线BB′的解析式为y=x-2． 分三种情况考虑，如图2所示：
m?4x?2,
2m?4?m?4x?2, 当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y?2m?4当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y??13?1?Nm,?m?2?时，直线l的解析式为y?x?m?2, 当直线l∥BB′且过线段CM的中点?44?2?综上所述：直线l的解析式为y??m?4?m?43x?2,y?x?2或y?x?m?2.
2m?42m?44【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．
7．（2015·广西中考真题）（2015崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）； （2）设经过A、B两点的抛物线解析式为y?1(x?5)2?k，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切； 4（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
A0）B0）C4）P4）【答案】（1）（2，，（8，，（0，；（2）证明见试题解析；（3）（5，，或（5，71），或（5，4?55）． 【解析】
试题分析：（1）连接MC，则MC垂直于y轴，MA=MC=5，MD=4，由勾股定理可计算AD和DB； （2）把A、或B或C的坐标代入y=
，确定二次函数表达式y=
，连接MA，根据勾股
定理计算AF，由勾股定理逆定理判断MA⊥AF，从而说明FA是切线；
22（3）设P（x，4），当C为顶点时，在Rt△CMP1中用x表示CP1，根据CP1?BC列方程求解；当B为顶点时，22在Rt△BDP2中用x表示CP2，根据CP2?BC列方程求解；当P是顶点时，易知P和M重合．
试题解析：（1）连接MC，则MC垂直于y轴，MA=MC=5，MD=4，在Rt△AMD中，AD=理在Rt△BMD中，BD=3，∴A（2，0），B（8，0），C（0，4）； （2）把A（2，0）y=
，AF=，解得k=-2AM2?MD2=3，同
，∴y=
2，∴F（5，-），连接MA，则MF=4+=
AD?FD=2，∴FA?AD?MF?22625，∴MA⊥AF，∴FA与⊙M相切； 16222（3）设P（x，4），BC2?80．当C为顶点时，在Rt△CMP1中，CP1?25?(x?4)，∴25?(x?4)?80，
x=4?55，点P在x轴上方，故x=4?55，所以（4?55，4）；
22当B为顶点时，在Rt△BDP2中，CP2?9?(x?4)， ∴9?(x?4)2?80，x=4?71，点P在x轴上方，故
x=4?71，所以（4?71，4）； 当P是顶点时，P和M重合，P3（5，4）．
综上当P（4?55，4）、（4?71，4）或（5，4）时△PBC是等腰三角形． 考点：二次函数综合题．
28．（2019·天津中考真题）已知抛物线y?x?bx?c（b，c为常数，b?0）经过点A(?1,0)，点M(m,0)是x轴
正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b?2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D(b,yD)在抛物线上，当AM?AD，m?5时，求b的值； （Ⅲ）点Q(b?1332,yQ)在抛物线上，当2AM?2QM的最小值为时，求b的值． 24【答案】（Ⅰ）(1,?4)；（Ⅱ）b?32?1；（Ⅲ）b?4. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）把b=2和点A(?1,0)代入抛物线的解析式，求出c的值，进行配方即可得出顶点坐标
（Ⅱ）根据点A(?1,0)和）点D(b,yD)在抛物线上和b?0得出点D(b,?b?1)在第四象限，且在抛物线对称轴
x?b的右侧．过点D作DE?x轴，垂足为E，则点E(b,0)，再根据D、E两点坐标得出VADE为等腰直角三2角形，得出AD?（Ⅲ）根据点Q(b?2AE，再根据已知条件AM?AD，m?5，从而求出b的值
11b3,yQ)在抛物线上得出点Q(b?,??)在第四象限，且在直线x?b的右侧；取点N(0,1)，22242AM?GM，此时2AM?2QM的值2过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，得出最小；过点Q作QH的距离公式和
?x轴于点H，则点H(b?,0)．再根据QH?MH得出m与b的关系，然后根据两点间
122AM?2QM的最小值为
【详解】
332，列出关于b的方成即可 4解：（Ⅰ）∵抛物线y?x?bx?c经过点A(?1,0)， ∴1?b?c?0．即c??b?1．
22当b?2时，y?x?2x?3?(x?1)?4，
2∴抛物线的顶点坐标为(1,?4)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y?x?bx?b?1． ∵点D(b,yD)在抛物线y?x?bx?b?1上，
2∴yD?b?b?b?b?1??b?1．
22由b?0，得b?b?0，?b?1?0， 2b的右侧． 2∴点D(b,?b?1)在第四象限，且在抛物线对称轴x?如图，过点D作DE?x轴，垂足为E，则点E(b,0)． ∴AE?b?1，DE?b?1．得AE?DE． ∴在Rt?ADE中，?ADE??DAE?45?． ∴AD?2AE．
由已知AM?AD，m?5， ∴5?(?1)?2(b?1)．
∴b?32?1．
1,yQ)在抛物线y?x2?bx?b?1上， 2121b3∴yQ?(b?)?b(b?)?b?1???．
22241b3可知点Q(b?,??)在第四象限，且在直线x?b的右侧．
224（Ⅲ）∵点Q(b?考虑到2AM?2QM?2(2AM?QM)，可取点N(0,1)， 2如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M， 有?GAM?45?，得2AM?GM， 2则此时点M满足题意． 过点Q作QH?x轴于点H，则点H(b?,0)．
?12在Rt?MQH中，可知?QMH??MQH?45． ∴QH?MH，QM?∵点M(m,0)， ∴0?(?2MH．
b31b1?)?(b?)?m．解得m??． 24224332， 412b1332． ?)]?244∵2AM?2QM?∴2[(?)?(?1)]?22[(b?)?(∴b?4．
b214
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、勾股定理、等腰三角形的性质与判定等知识，关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答． 9．（2016·山东中考真题）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′. (1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求
历年全国各地中考数学压轴题专题汇编——函数(100题)(解析版)
