近6年全国各地中考数学压轴题专题汇编——函数（100题）
1．（2014·甘肃中考真题）如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2
123x+x+2 2233535(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
22222【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=【解析】
试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 试题解析：（1）∵抛物线y=﹣
13． 212
x+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 23?m??解得：?2，
??n?2∴抛物线的解析式为：y=﹣（2）∵y=﹣
123x+x+2； 22123x+x+2， 22
13225（x﹣）+， 2283∴抛物线的对称轴是x=．
23∴OD=．
2∴y=﹣∵C（0，2）， ∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=
5． 2∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4．
33535，4），P2（，），P3（，﹣）； 22222123（3）当y=0时，0=﹣x+x+2
22∴P1（
∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
?2?b， ??0?4k?b1??k??解得：?2，
??b?2∴直线BC的解析式为：y=﹣
1x+2． 21123a+2），F（a，﹣a+a+2）， 222如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣∴EF=﹣
123112
a+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a+2a（0≤x≤4）． 2222111∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，
22211211215=??2+a（﹣a+2a）+（4﹣a）（﹣a+2a），
22222252
=﹣a+4a+（0≤x≤4）．
2213=﹣（a﹣2）+ 213∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
2∴E（2，1）．
考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值
2．（2017·四川中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．
【答案】（1）抛物线解析式为y??1238x?x?2；（2）点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）当t=时，有225S1-S2有最大值，最大值为【解析】 【分析】
16. 5（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标； （3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1-S2=S△PAB-S△AFO-S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【详解】
1?a???2?a?b?c?0?3??解：（1）由题意可得?16a?4b?c?0，解得?b?，
2?c?2???c?2??∴抛物线解析式为y??123x?x?2； 22（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称， ∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件， ∴D（3，2）； 当点D在x轴下方时， ∵∠DBA=∠CAO， ∴BD∥AC， ∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2， ∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8， ∴直线BD解析式为y=2x-8，
?y?2x?8?x?4?x??5?联立直线BD和抛物线解析式可得?解得?或?， 123y??18y?0y??x?x?2???22?∴D（-5，-18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）； （3）设P?t,???123?t?t?2?∵AB=5，OC=2， 22?∴S△PAB=
1?1235215??t?t?2?5??t?t?5， ??2?2244??OF1?13， ?t2?t?2t?1221?OF??(t?4)，
2111?1??SVAFO??1???(t?4)???(t?4)，且SVBOC??2?4，
242?2?515155?8?16?S1?S2??t2?t?5?(t?4)?4??t2?4t???t???，
44444?5?5∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度
28516. 5
历年全国各地中考数学压轴题专题汇编——函数(100题)(解析版)
