高中数学专题四
《圆锥曲线》知识点小结
椭圆、双曲线、抛物线
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2??1(a?b?0) a2b2B2 y F2 O F1 B1 A2 x P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0) B1(0,?b),B2(0,b)A1(?b,0),A2(b,0) B1(0,?a),B2(0,a)x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0) c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） ax2y23．常用结论：（1）椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,Bab两点，则?ABF2的周长= 22（2）设椭圆x2?y2?1(a?b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴
ab的直线交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|?
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。
2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab P F1 A1 y x O A2 F2 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 （3）双曲线的渐近线：
e?P y F2 B2 O B1 F1 x 图 形 A1(?a,0),A2(a,0) B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) 22F1(0,?c),F2(0,c) 2|F1F2|?2c(c?0) c?a?b c(e?1)（离心率越大，开口越大） ay??bx a2b2ay?? ax b2222①求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y?0，因式分解得到
2222ababxy??0。 ab22x2y2xy②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??；
abab（4）等轴双曲线为x?y?t，其离心率为2 2222y2x（4）常用结论：（1）双曲线?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双2ab曲线的同一支于A,B两点，则?ABF2的周长= 22（2）设双曲线x?y?1(a?0,b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对
a2b2称轴的直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是
|PQ|? 三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0 标准方程 焦点在x轴上， 开口向右 y2?2px 焦点在x轴上， 开口向左 y2??2px 焦点在y轴上， 开口向上 焦点在y轴上， 开口向下 x2?2py x2??2py P y l x F O l 图 形 O y P x F y P F O x l P y O F x l 顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 |PF|?|x0|?p 2 O(0,0) F(?p ,0)2pF(0,) 2 x轴 pF(,0) 2y轴 pF(0,?) 2 p 2 p 2p 2e?1 x??x?p2 y??y?2p |PF|?|y0|?p 2 p 四、弦长公式： |AB|?1?k2|x1?x2|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?? |A|其中,A,?分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?Bx?C?0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出
x1?x2??x?x2B；（3）设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0?1；再把x?x0代
2A入直线方程求出y?y0。
法（二）：用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题：
1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为( )
3
A.4 5
C.4
答案：C
2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
B．1 7
D.4 A．n＝0 C．n＝2
B．n＝1 D．n≥3
答案：C
3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
4A.5 3C．－5 答案：D
x2y2y2
2
4．(2011·浙江)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x－4＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝
13
2
B．a2＝13 D．b2＝2 3B.5 4D．－5 1
C．b2＝2
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