高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知i是虚数单位，若z(1?3i)?i，则z的虚部为 A．
i1i1 B．? C． D．? 101010102、已知集合A?{x|x2?1},B?{x|y?1?log2x}，则AICRB? A．(2,??) B．(??,?1]U(2,??) C．(??,?1)U(2,??) D．[?1,0]U[2,??)
3、通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
参考右上附表，得到的正确结论是
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C．有97.5%以上的把握认为“是否此零食与性别有关” D．有97.5%以上的把握认为“是否此零食与性别无关”
4、已知?,?表示两个不同的平面，m为平面?内的一条直线，则“???”是“m??”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．常用条件 D．既不充分也不必要条件按
rrrrrro5、已知向量a与b的夹角为120，a?3,a?b?13，则b?
A．1 B．3 C．4 D．5 6、函数f?x??2x?tanx在(???,)上的图象大致是 22
7、执行如图所示的程序框图（其中?x?表示不超过x的最大整数）， 则输出的S值为
A．4 B．5 C． D．7
8、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r?a的硬币 任意投掷在这个平面上，则硬币不u任何一条平行线相碰的概率是 A．
2a?r2a?ra?ra?r B． C． D．
2a2aa2a点
x2y229、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)与抛物线y?8x有一个共同的交
abF，两曲线的一个交点为P，若PF?5，则点F到双曲线的渐近线的距离为 A．3 B．2 C．6 D．3
10、已知函数y?f(x?1)是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1?x2，不等式恒成立，则不等式f?x?3??0的解集为
A．(??,?3) B．(4,??) C．(??,1) D．(??,?4)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。. 11、在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若bsinA?3csinB,a?3,cosB?的等于
f(x1)?f(x2)?0x1?x22，则边长b3??x0?x?8?cos12、已知f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f?x???， 6??log2xx?8则f(f(?16))?
13、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示， 则此几何体的体积是 cm
2?y?x?14、设变量x,y满足约束条件?x?3y?4，则z?x?3y
?x??2?的最大值是 15、已知正实数a,b满足
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12??3，则(a?1)(b?2)的最小值是 ab16、（本小题满分12分）
近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增市民的环境保护意识，我市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组?20,25?，第2组：?25,30?，第3组?30,35?，第4组?35,40?，第5组?40,45?得到的频率分布直方图如图所示，已知2组有35. （1）求该组织的人数；
（2）若从第3,4,5组中分层抽样的方法抽取6名志愿者 参加某社区的选传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽 取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少已经志愿 者被抽中的概率。
17、（本小题满分12分） 已知函数f?x??4cosxsin(x??6)?1
（1）用五点法作出f?x?在一个周期内的简图； （2）将函数f?x?的图象向左平移
?个单位后再向上平移1个单位，得到函数g?x?的图象， 6求函数g?x?在?0,2??内所有零点的和。
18、（本小题满分12分）
如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A、B的动点，四边形ABCD为矩形，平面ABCD?平面ABE，F是DE的中点。
（1）求证：OF//平面BCE； （2）求证：平面ADE?平面BCE。
19、（本小题满分12分） 已知正项数列
?an?的前n
项和为Sn，且
12a1?1,Sn?(an?3an?2),n?N?。
6（1）求数列?an?的通项公式；
（2）若akn?{a1,a2,Lan,L}，且ak1,ak2,L,akn,L成等比数列，当k1?1,k2?4时，求kn。
20、（本小题满分13分）
x2y23 如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以椭圆的左顶点R为圆心作圆
2abT:(x?2)2?y2?r2(r?0)，设圆T与椭圆C交于点M、N。
（1）求椭圆C的方程；
uuuruuur （2）求TM?TN的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设圆P是椭圆C上异于M，N的动点，且直线MP、NP 分别与x轴交于点R、S、O为坐标原点， 求证：OR?OS的定值。
21、（本小题满分14分）
已知函数f?x??x?alnx,g?x??1?a(a?R) x（1）当a?2时，求曲线f?x?在x?1处的切线方程； （2）设函数h?x??f?x??g?x?，求函数h?x?的单调区间；
（3）若在?1,e?(e?2.71828L)上存在x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围。
高考模拟数学试卷
说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题答案请用2B铅笔或0．5mm
签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
第I卷（共50分）
一、选择题《本题包括10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意） 1．i为虚数单位，若(3?i)z?
A．1
3?i,则|z|?
C．3
D．2
B．2
2．
A．-2
B．-3
2C．9
的
D．
1 93．已知条件p:|x?1|?2,条件q:5x?6?x，则
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C．充要条件
4．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是
5．由函数f（x）=ex -e的图象，直线x-2及x轴所围成的阴影部
分面积等于
A．e2—2e—1 C．
B．e2—2e D．e2—2e+1
的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图像交于
B．-4 D．8
6．函数
B、C两点，则
A．-8 C．4
7．已知x，y满足条件
A．?的最小值
B．
2 31 3C． D．4
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是
9．抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的
两个动点，且满足为N，则
的最大值是
，设线段AB的中点M在l上的投影
10．定义在
上的函数
是它的导函数，且恒有
成立，则
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分） 11．已知等差数列
12．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内爬行，则其到三角形顶点距离小于2的地方的概率
为 。 13．双曲线14．若多项式
的一条渐近线方程为y=2x，则m= 。
= 。
15．已知函数f（x）是定义在足上的奇函数，它的图象关于直线x=l对称，且f(x)=x（0 以在区间[-10,10]上有10个零点（互不相同），则实数口的取值范围是 。 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16．（本小题满分12分） 设△ABC的内角么，B，c所对的边分别为a，b，c且acosC- 1c=b． 2 （I）求角么的大小； （II）若a=3，求△ABC的周长l的取值范围． 17．（本小题满分12分） 口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球，现从中同时取出3个球． （I）求恰有两个黑球的概率； （II）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望E（）． 18．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点． （I）求证；平面EAC⊥平面PBC; （II）若二面角P-AC-E的余弦值为 3，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 3 19．（本小题满分12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2—3n—1，n=l，2，3… （1）求证：数列{an—2n}为等比数列： （2）设bn=an·cosnπ，求数列{bn}的前n项和Tn。 20．（本小题满分13分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜 率为1时，坐标原点O到l的距离为1． （I）求椭圆C的标准方程； （II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由， 21．（本小题满分14分） 成立？若存在，求出所有的 数学(理) 参考答案与评分标准 () 一、选择题ACADB DBCCD 二、填空题 11.33； 12. 三、解答题 16.解（I）由acosC??211 ；13. ；14. -10 ；15. [?,]. 153101011c?b得sinAcosC?sinC?sinB …………2分 22又sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC 11?sinC??cosAsinC,QsinC?0,?cosA?? …………4分 22又Q0?A???A?2? …………6分 3asinB?23sinB,c?23sinC, sinA(II)由正弦定理得 b?l?a?b?c?3?23(sinB?sinC)?3?23(sinB?sin(A?B)) 13??3?23(sinB?cosB)?3?23sin(B?)………9分 223QA?2????2?,?B?(0,),?B??(,),…………10分 33333?3?sin(B?)?(,1] 32故?ABC的周长l的取值范围为(6,3?23]. …………12分 17．解：（I）记“恰有两个黑球”为事件A，则 12C2C123P(A)?34??…………………………………………………………4分 C6205(II)X的可能取值为0,1,2，则 3C441P(X?0)?3?? ---------- 2分 C620512C2?C4123P(X?1)??? ---------- 2分 3C62051P(X?2)?P(A)? ---------- 2分 5∴X的分布列为 X P 0 1 51 3 52 1 5∴X的数学期望EX?0? 18解： 131?1??2??1． 2分 555（I）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝， ∴AC＋BC＝AB，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC， A y D 2 2 2 z P E x B C ∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． ----------------------4分 (II)如图，以C为原点，→DA、→CD、→CP分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 11a设P(0，0，a)（a＞0），则E(，－，)， 222→CA＝(1，1，0)，→CP＝(0，0，a)， 11a→CE＝(，－，)， 222取m＝(1，－1，0)，则 m·→CA＝m·→CP＝0，m为面PAC的法向量． 设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·→CA＝n·→CE＝0， ?x＋y＝0，即?取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)， ?x－y＋az＝0， -----------6分 3|m·n|a 依题意，|cos?m，n?|＝＝2＝，则a＝1． |m||n|a＋23于是n＝(1，－1，－2)，→PA＝(1，1，－2)． 设直线PA与平面EAC所成角为θ， -----------10分 2则sinθ＝|cos?→PA，n?|＝， 3即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 2． 3 -----------12分 2219．解：（I）证明：当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?n?3n?2?2an?1?(n?1)?3(n?1)?2 整理得an?2an?1?2n?2 ?an?2n?2[an?1?2(n?1)] ?an?2n?2------------------------------------------------4分 an?1?2(n?1)?S1?2a1?1?3?1?1 ?a1?3 ?{an?2n}是以1为首项，以2为公比的等比数列 ---------------------6分 n-1n-1(II)解：由（I）得an?2n?2 ?an?2?2n ------------------7分 当n 为偶数时，Tn?b1?b2?b3?...?bn?(b1?b3?...?bn?1)?(b2?b4?...?bn） ??(1?2?1)?(22?2?3)?...?[2n?2?2(n?1)]?(2?2?2)?(2?2?4)?...?(213n-1?2?n) 2(1?2n)1(1?2n)1n??n??(2?1)?n; ---------------------------9分 = 1?221?2232n-1?2?(n?1). ----------------------------11分 当n 为奇数时，可得Tn??32n-15??n?, （n为奇数） 33综上，Tn? 1n(2?1)?n, （n为偶数） ------------------------12分 320.解(I）设F(c,0)，直线l:x?y?c?0，由坐标原点O到l的距离为1 则 c2|c|?1，解得c?2.又e??， a222 所以a?2,b?c?x2y2??1.---------------------4分 椭圆C的标准方程为4222（II）椭圆C的方程为x?2y?4，设A(x1,y1)、B(x2,y2) 由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l:x?my?2 22代入椭圆的方程中整理得(m?2)y?22my?2?0，显然??0。 22m2，………………．① --------------------6分 yy??1222m?2m?2uuuruuuruuur假设存在点P，使OP?OA?OB成立， 则点P的坐标为(x1?x2,y1?y2)， 由韦达定理有：y1?y2??因为点P在椭圆上，即(x1?x2)?2(y1?y2)?4。 整理得(x1?2y1)?(x2?2y2)?2(x1x2?2y1y2)?4。 又A、B在椭圆上，即x1?2y1?4,x2?2y2?4. 故x1x2?2y1y2?2?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② -----------------9分 将x1x2?(my1?22222222222)(my2?2)?m2y1y2?2m(y1?y2)?2及①代入②解得 m2?2-----------------11分 22m2?22?2，即P(2?1). 所以y1?y2??1，x1?x2??2m?2当m?2时，P(2,?1),l:x?2y?2； 2.---------------------13分 当m??2时，P(2,1),l:x??2y? 21.解 (I) k?1时,令f′(x)＝ex－m＝0， 得x＝ln m.当0 所以x＝ln m是f(x)的极小值点．又f(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln m>1，即m>e. -----------------------------------------------------4分 (II) 法1 k?2时f(x)?e?mx(x?0), (i)m?0时, f(x)?e?mx?e?1,与题意矛盾,故m?0; x2xx2又f?(x)?e?2mx(x?0), 令g(x)?e?2mx(x?[0,??)),则g?(x)?e?2m(x?0)------------5分 (ii)0?m?xxx1时, g?(x)?0(x?0),所以g(x)?g(0)?1?0,即有f?(x)?0(x?0),此时21;-----------------6分 2f(x)?ex?1,与题意矛盾,故m?(iii)令g?(x)?0,得x0?ln(2m)?0,所以, x?(0,x0)时g?(x)?0,x?(x0,??)时g?(x)?0,故 g(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,??)上单调递增,所以g(x)min?g(x0)?2m(1?ln(2m)), 1?2m?e时g(x)min?0,同(ii),此时f?(x)?0(x?0),f(x)?ex?1,与题意矛盾,故 m?e;--------------------------------------------------7分 2(iv) m?e时, g(x)min?g(x0)?2m(1?ln(2m))?0,且g(0)?1?0, 2xx又记t(x)?e?ex(x?0) ,则t?(x)?e?e,则 x?(0,1)时t?(x)?0,x?(1,??)时t?(x)?0,易知 t(x)min?t(1)?0,故ex?ex(x?0), 1e222所以e?ee?xe?xe(x?0),若存在x1使g(x1)?0则需e?2m,x1显然存在,如可取 2xx2x2xxxx1?2ln(2m)?1; 故存在x2?(0,x0),x3?(x0,x1)使f?(x)?g(x)?0,且x?(0,x2)时f?(x)?0,x?(x2,x3)时 f?(x)?0,x?(x3,??)时f?(x)?0;所以f(x3)?f(x)min?0 2?ex3?mx3?0----------------------------------------------9分 ??x3?e?2mx3?0e2 得x3?2 ,故m?.-------------------------------10分 4ex法2由f(x)?e?mx?0(x?0)得m?2(x?0)且等号成立. ------5分 xx2ex令g(x)?2(x?0),则m?g(x)(x?0), xex?x2?ex?2xxex(x?2)?(x?0);---------------------6分 因为g?(x)?44xx所以, x?(0,2)时g?(x)?0,x?(2,??)时g?(x)?0,故g(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间 e2(2,??)上单调递增,所以g(x)min?g(2)?, 4e2e2即有m?,m只可取.------------------------------7分 44e2e22xx(x?0),以下做法同方法1(iv) 又m?时, f(x)?e?44注方法1中(i)可不出现,有(ii)即可. (III) f(x)?e?mx?0?e?mx(x?0) (i) m?0时由e?1?mx(x?0)知命题成立; --------------------11分 (ii) m?0时,若k?0,则x?1时e?mx?e?m,命题成立; ------12分 (iii) m?0且k?0时,由(II)的证明知e?ex(x?0) 所以e?(e只需(xxk?1k?1xxkxxkxkxk)?(exk?1ek?1)?()?x?xk k?1k?1mek?1)?x?m,取x0??1,则x∈(x0,＋∞)时,恒有f(x)?0. ek?1()k?1k?1综上,命题成立. --------------------------------------------14分 高考模拟数学试卷 满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。 6．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给 分。 一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．在复平面内，复数 A．第一象限 3?i(i为虚数单位）对应的点在 2?iB．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 rrrr2．已知向量a?(2,k),b?(1,2)，若a／／b，则k的值为 A．4 B．1 2 C．－1 D．－4 3．设{an}是等比数列，函数y=x－x－2013的两个零点是a2，a3，则ala4= A．2013 B．1 C．－1 D．－2013 4．“a=2”是“?x?(0,??),ax? A．充分不必要条件 C．充要条件 1?1”的 8xB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．3名大学生分配到4个单位实习，每个单位不超过2名学生，则不同的分配方案有 （A） 10种 B．36种 C． 48种 D． 60种 6．一个几何体的三视图如题（6）图所示，则这个几何体的体积为 A．6．5 B．7 C．7．5 D．8 7．对于数集A，B，定义A+B={x|x=a+b，a∈A，b∈B）， A÷B={x|x= a，a?A,b?B}，若集合A={1，2}，则集 b15 221 223 2 合（A+A）÷A中所有元素之和为 A． 10 2B．C．D． 8．已知函数y=sinax+b（a>0）的图象如题（8）图所示，则函数y=loga（x－b）的图象可能是 x2y29．已知A是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线 abuuuruuur上一点，G是△PF1F2的重心，若GA??PF1，则双曲线的离心率为 A．2 B．3 C．4 D．与?的取值有关 10．某学生在复习指数函数的图象时发现：在y轴左边，y=3x与y=2x的图象均以x轴负半轴为渐近线， 当x=0时，两图象交于点（0，1）．这说明在y轴的左边y=3x与y=2x的图象从左到右开始时几乎一样，后来y=2x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象逐渐远离，而当x经过某一值x0以后 y= 3x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象又逐渐接近，直到x=0时两图象交于点（0，1）．那么x0= A．1n(1og32) B．1og2(1og23) 3 C．1og3(1og23)?1og2(1og23) D．?1og23 把 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分 答案填写在答题卡相对应位置上． 11．某商场有来自三个国家的进口奶制品，其中A国、B国、C国的奶 品分别有40种、10种、30种，现从中抽取一个容量为16的样本进三聚氰胺检测，若采用分层抽样的方法抽取样本， 则抽取来自B国的奶制品 种． 12．定义一个新的运算a*b：a*b= 制行 a?b，则同时含有运算符号“*”和2“+”且对任意三个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 （只要写出一个即可） 13．执行如题（13）图所示的程序框图，输出的结果为 。 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做则按前两题给分 14．如题（14）图，已知圆O的半径为3，AB与圆D相切于A，BO与圆O相交于C，BC =2，则△ABC 的面积为 。 15．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，记?为极径，?为极角， 圆C：?=3 cos?的圆心C到直线l：?cos?=2的距离为 。 16．关于x的不等式|x－l+log2（x －1）| 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分） 2 已知函数f(x)?23sinaxcosax?2cosax?1(a?0)图象上的一个最低点为A，离A最近的两个 uuuruuur?2最高点分别为B，C, AB.AC?16? 16 （I）求a的值； （II）求f(x)的单调递增区间． 18．（本小题满分13分） 一次测验中，某道多项选择题有4个选项，恰好选中全部正确选项得6分，恰好选中部分正确选项得 2分选中错误选项或不选得0分．现已知此题有两个正确选项，一考生选择每个选项的概率都为 （I）求此考生的答案中至少包含一个正确选项的概率； （II）求此考生此题得分?的数学期望． 19．（本小题满分13分） 如题（19）图，四棱锥P－ ABCD的底面ABCD为菱形， PA⊥平面ABCD，∠ABC= 60°，直线PC与底面ABCD 所成的角为45°，E、F分别是BC、PC的中点． （I）证明：AE⊥PD； （II）求二面角E—AF—C的余弦值， 20．（本小题满分12分） 3． 4 设函数f(x)?e(ax?x?1)（a∈R）． （I）若函数f(x)在R上单调递减，求a的取值范围 （II）当a>0时，求f(sinx)的最小值． 21．（本小题满分12分） x2x2y2 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0) 的左、右焦点分别为F1、F2，短轴上端点为B，△BF1F2为等边 ab三角形． （I）求椭圆C的离心率； （II）设过点F2的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△F1 PQ面积的最大值为6，求椭圆C的方程． 22．（本小题满分12分） 构造如题（22）图所示的数表，规则如下：先排两个l作为第一层，然后在每一层的相邻两个数之间 *插入这两个数和的a倍得下一层，其中a∈（0,），设第n层中有an个数，这an个数的和为Sn(n?N)。 13 （I）求an； （Ⅱ）证明： a?1na1?1a2?12n???L?n?()?1 2S1S2Sna?1数 学（理工农医类） 参考答案 一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题 目 要求的． 1～5 DADAD 6～10 CDABB 提示：10. 2x和3在x0处的导数相同，20ln2?30ln3. xxx二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分． 11.2 12. a?b?b?c?a?c?a?b?c(合理答案即可) 13.1022 14. 121，2) 15. 16. (152三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)?3sin2ax+cos2ax?2sin(2ax??6)……………3分 令A(x0,?2),B(x0-TT，2),C(x0?,2)，其中T为最小正周期, 22uuuruuurTT则AB?(?,4),AC?(,4) 22uuuruuurT2?2?2?AB?AC???16?16?,故T??得a?2；……………7分 41622a（Ⅱ）因为f(x)?2sin(4x??6) 所以2k???2≤4x??6≤2k???2……………10分 解得 k??k???≤x≤?, 26212k??k???，?](k?Z)……………13分 26212所以f(x)的单调递增区间为[（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）P=1?()=（Ⅱ） 14215……………6分 160 ? P 241 2562 6 2566 9 256E??2?6933?6??……………13分 256256128（19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）BE?1AB,?ABC?60o,?AE?BC,又BC//AD,PA?面ABCD 2?AE?AD,AE?PA,?AE?面PAD,?AE?PD……………6分 uuuruuuruuur（Ⅱ）以A为原点，AE、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设菱形ABCD的边长为2，∴E(3,0,0)，P(0,0,2)，C(3,1,0)，F(ur设平面AEF的法向量为n1?(x1,y1,z1) uuurur???AE?n1?0?uuurur??AF?n?0???131,,1) 22z P 3x1?0 31x1?y1?z1?022ury?2令1得 n1?(0,2,?1) ur同理可得平面PAC的法向量n1?(?3,3,0) uruururuur15n?n2r1uur?∴cos?n1,n2??uu 5|n1|?|n2|∴二面角E?AF?C的余弦值为（20）（本小题满分12分） A F D y B E C x 题(19)图 15……………13分 5x2解：（Ⅰ）f?(x)?e(ax?x?1)?e(2ax?1)?e[ax?(2a?1)x?2]……………2分 ①a?0时，显然不满足， ②当a?0时,f?(x)≤0恒成立， 即a?0且(2a?1)?4?2?a≤0， 所以a??2x2x1……………6分 2（Ⅱ）①当 1≥1时，即0?a≤1,f(|sinx|)min?f(1)?e(a?2)……………9分 a111111a②当0??1时，即a?1,f(|sinx|)min?f()?e(??1)??ea……………12分 aaaa（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题得BF2?2OF2，即a?2c，∴e?1 ……………4分 2?x?ty?c（Ⅱ）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ方程：x?ty?c，联立?22 2222bx?ay?ab?222224得 (a+bt)y+2bcty?b?0 2b2ctb4 ∴ y1?y2??2，y1y2??2……………7分 a?b2t2a?b2t21S??2c?y1?y2?c24b4c2t2?a2?bt222?4b42ab2c1?t2 +222=a?bta2?b2t22ab2cu2ab2c2ab2c?2≤2?b2，其中等号成立时令u?1?t≥1，S?222a?b(u?1)ca?b2uu2u?1， x2y2?1 ……………12分 ∴b?6，a?8 ?椭圆方程为?8622（22）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得a1?2,an?1?an?(an?1)?2an?1 ?an?1?1?2(an?1)，则an?1?(a1?1)?2n?1 得an?2n?1?1……………4分 （Ⅱ）先求Sn，同（Ⅰ），S1?2，Sn?1?Sn?2aSn?2a?(2a?1)Sn?2a n?1n?1 ?Sn?1?1?(2a?1)(Sn?1)?Sn?1?(2a?1)?Sn?(2a?1)?1 an?12n?1令bn?，则bn?， n?1Sn(2a?1)?12n?12n下证bn为单调增数列：只需证bn?bn?1? ?n?1n(2a?1)?1(2a?1)?1?2(2a?1)n?1?2?(2a?1)n?1?2(2a?1)n?1?(2a?1)n?2?2a?1?a?所以又 nn1 2a?1a1?1a2?1a?1n??L?n≥n(1)? S1S2SnS12对 于 正 数 x,y，由二项式定理 x?yx?ynx?yx?yn?)?(?)x?yx?yn2222?≥() 222(2n?111212n?1n?1?≤()?() 所以bn?(2a?1)n?1?1(2a?1)n?1?(1)n?122a?1?12a?122222n)an?11a1?1a2?111?a2na?1??L?≤???[()?1] S1S2Sn21?221?aa?1a?11?(又因为a?分 a?1a?1a?12n11?a?L?n?()?1……………12?2所以1?2，所以 S1S2Sna?131?a 高考模拟数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置． 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1.已知复数z满足(2?i)2?z?1，则z的虚部为 （A） 3434i （B） （C）i （D） 2525252522.已知集合A?{x|x?a},B?{?1,0,1},则a?1是A?B的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 rruruururuuro3.设单位向量e1,e2的夹角为120，a?2e1?e2，则 |a|? （A）3 （B）3 （C）7 （D）7 4.已知等差数列?an?满足a6?a10?20，则下列选项错误的是 （A）S15?150（B）a8?10（C）a16?20（D）a4?a12?20 5.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）4?1 主视图 左视图 ?3 （B） 8 （C）4?? （D）12?22? 3x2y2??1的顶点到其渐近线的距离为 6.双曲线24323626（A） （B） （C） （D） 3333. 2 俯视图 第5题图 ?x2,0?x?17.周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)??，则 ?log2x?1,1?x?2f(2014)+f(2015)? （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 ?x2?y2?4?8.已知x,y满足约束条件?x?2y?2?0，则z?2x?y的最大值为 ?2x?y?2?0?（A）2 （B）5 （C）4 （D）25 9.在?ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2?(a?b)2?6，?ABC的面积为则C? （A） （B） （C） （D） 33，2?32?3?65?610.设f?(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f?(x)?xf(x)?lnx,f(1)?1，则下列结论正确的是 2（A）xf(x)在(0,??)单调递增 （B）xf(x)在(1,??)单调递减 （C）xf(x)在(0,??)上有极大值 11 （D）xf(x)在(0,??)上有极小值 22第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项： 1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先 划掉原来的答案，然后再写上新答案． 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.右面的程序框图输出的S的值为_____________. 12.在区间[?2,4]上随机取一个点x，若x满足x2?m的概率为则m?____________. 13.若点(a,9)在函数y?(3)x的图象上，则log14.已知x?0,y?0且2x?y?2，则 22开始 1， 4n?1,S?0 a?_______. 14的最小值为______. ?22xy 是 1 输出S S ?S? n 结束 n?4 否 n?n?1 15.函数f(x)?|x?2x?13|?x?1的零点个数为___________. 22三、解答题本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 已知向量m?(2cos?x,?1),n?(sin?x?cos?x,2)(??0)，函数 f(x)?m?n?3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为 （Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间； （Ⅱ）将函数f(x)的图象先向左平移 数g(x)的图象，当x?[?. 21?个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函 24??,]时，求函数g(x)的值域. 62A 400 B 600 C 17.（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,某月的产量如下表(单位辆) 类别 数量 a 按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2辆,求至少有1辆A类轿车的概率; （Ⅲ）用随机抽样的方法从A,B两类轿车中各抽 取4辆，进行综合指标评分，经检测它们 A类轿车得分 B类轿车得分 6 3 8 5 1 2 9 4 2 3 的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较 稳定. 18.（本小题满分12分）已知 {an} 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn，且Sn为an 与 中项. 2（Ⅰ）求证：数列{Sn}为等差数列； 1的等差an（Ⅱ）求数列{an}的通项公式； (?1)n（Ⅲ）设bn?,求{bn}的前100项和. an?是直径为22的半圆，O为圆心,C是BD?上一点， 19.（本小题满分12分）如图：BCD??2CD?.DF?CD，且DF?2，BF?23，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上且BC一点,且FR?3RC. (Ⅰ) 求证： 面BCE⊥面CDF； （Ⅱ）求证：QR∥平面BCD； （Ⅲ）求三棱锥F?BCE的体积. 20.（本小题满分13分）已知函数f(x)?B Q E R D F x?ax,x?1. lnxO C （Ⅰ）若f(x)在?1,???上单调递减，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若a?2，求函数f(x)的极小值； （Ⅲ）若方程(2x?m)lnx?x?0在(1,e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围. x2y2621.（本小题满分14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，它的一 3ab2个顶点在抛物线x?42y的准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； urx1y1rx2y2A(x,y),B(x,y)（Ⅱ）设是椭圆上两点，已知m?(,),n?(,)， C1122ababurr且m?n?0. uuuruuur（ⅰ）求OA?OB的取值范围； (ⅱ)判断?OAB的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由. 一、选择题 D A D C A, B B D A D 二、填空题 11. 925； 12. ； 13. 4 ； 14. 8； 15. 2； 1612三、解答题 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)?m?n?3?2cos?x(sin?x?cos?x)?2?3 ?sin2?x?2cos2?x?1?sin2?x?cos2?x ?2sin(2?x?)4?， ----------------------2分 由题意知，T?2???，???1， ----------------------3分 2??f(x)?2sin(2x?由2k???4). ----------------------4分 ?2?2x??4?2k???2,k?Z， 解得：k??为[k???8?x?k??3?,k?Z, ----------------------5分?f(x)的单调增区间8?8,k??3?],k?Z. ----------------------6分 8（Ⅱ）由题意，若f(x)的图像向左平移 ??个单位，得到y?2sin(2x?)， 441?倍，得到g(x)?2sin(4x?)，------8分 24再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ???11?9??x?[,]，?4x??[,]， ----------------------10分 624124??1?sin(4x??4)?2， ----------------------11分 2?函数g(x)的值域为[?2,1]. ---------------------12分 17．（本小题满分12分） 解 (Ⅰ)由题意得, 50?400?10,所以a?1000 --------------------3分 400?600?a400m?,解得m?2 -------------------4分 10005(Ⅱ)根据分层抽样可得, ∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(A1, A2) (A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3),(B1 ,B2), (B1 ,B3) , (B2 ,B3)共10个,其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个 (A1, A2) ,(A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), ,所以从中任取2辆,至少有1辆A类轿车的概率为 7. 10 ----------------------6 分（Ⅲ） xA?86?83?92?9135285?94?92?93364??88,xB???91 --------8分 44442 ∴sA?4?25?16?936?9?1?42?13.5, sB??12.5 ----------------------10分 44∵12.5?13.5,∴B类轿车成绩较稳定. ----------------------12分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知2Sn?an?12，即2Snan?an?1，① ----------------------1分 an当n?1时，由①式可得S1?1; ----------------------2分 2又n?2时,有an?Sn?Sn?1，代入①式得2Sn(Sn?Sn?1)?(Sn?Sn?1)?1 2整理得Sn2?Sn?,(n?2)． ----------------------3分 1?12∴ {Sn}是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分 2 （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得Sn?1?n?1?n， ----------------------5分 ∵{an} 是各项都为正数，∴Sn?n， ----------------------6分 ∴an?Sn?Sn?1?n?n?1（n?2）， ----------------------7分 又a1?S1?1,∴an?n?n?1． ----------------------8分 (?1)n(?1)n（Ⅲ）bn???(?1)nann?n?1?n?n?1, ----------------------10分 ?T100??1?(2?1)?(3?2)?L?(99?98)?(100?99)?10 ∴{bn}的前100项和T100?10. ----------------------12分 19．（本小题满分12分） 222证明：(Ⅰ)∵DF?2,BF?23,BD?22,∴BF?BD?DF, F ∴BD?DF ----------------------1分 又DF?CD,∴DF⊥平面BCD ----------------------2分 ∴DF⊥BC， 又BC⊥CD,∴BC⊥平面CFD, ----------------------3分 B ∵BC?面BCE ∴面BCE⊥面CDF. ----------------------4分 （Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD， ∵O,Q为中点，∴OQ∥DF,且OQ?Q R O M C D E 1DE -----------------5分 2∵DF?CD ∴RM∥FD, ----------------------6分 又FR?3RC,∴ RMCR11??,∴RM?DF， DFCF441DE. ----------------------7分 2∵E为FD的中点，∴RM?∴OQ∥RM,且OQ?RM ∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM ----------------------8分 又RQ?平面BCD, OM?平面BCD, ∴QR∥平面BCD. ---------------------9分 ??2CD?，∴?DBC?30o，∴在直角三角形BCD中有CD?（Ⅲ）∵BC2，BC?6， ∴vF?BCE?vF?BCD?vE?BCD?20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f?(x)?∴a?11113??6?2?2???6?2?1?--------12分 32323lnx?1?a,由题意可得f?(x)?0在x??1,???上恒成立；---1分 2lnx111121??(?)?， ----------------------2分 2lnxlnxlnx24∵x??1,???，∴lnx??0,???， ----------------------3分 ∴ 1111211??0时函数t?(?)?的最小值为?， lnx2lnx2441 ----------------------4分 4∴a??lnx?1?2ln2xx (Ⅱ) 当a?2时，f(x)? ------------------5分 ?2xf?(x)?ln2xlnx2令f?(x)?0得2lnx?lnx?1?0， 11解得lnx?或lnx??1（舍），即x?e2 ----------------------7分 2当1?x?e时，f?(x)?0，当x?e时，f?(x)?0 11e?2e2?4e2 ----------------------8分 ∴f(x)的极小值为f(e)?1212121212（Ⅲ）将方程(2x?m)lnx?x?0两边同除lnx得(2x?m)?整理得 x?0 lnxx?2x?m ----------------------9分 lnx即函数f(x)与函数y?m在(1,e]上有两个不同的交点； ----------------------10分 由（Ⅱ）可知，f(x)在(1,e)上单调递减，在(e,e]上单调递增 1xf(e)?4e,f(e)?3e，当x?1时，??? ∴4e2?m?3e lnx1212121212实数m的取值范围为(4e,3e] ----------------------13分 21. （本小题满分14分） 2解：（Ⅰ）因为抛物线x?42y的准线y??2，?b?2 --------------------1分 6a2?b22???a?6 ----------------------2分 由e?3a23x2y2??1. ----------------------3分 ∴椭圆C的方程为62urr（Ⅱ）由m?n?0得x1x2??3y1y2 ----------------------4分 设A(x1,y1),B(x2,y2)所在直线为l,当l斜率不存在时， x12y12??1，?y12?1 则A(x1,y1),B(x1,?y1),?x?3y，又62uuuruuur?OA?OB?x1x2?y1y2?2y12?2 ----------------------5分 2121 当l斜率存在时，设l方程y?kx?m， 联立??y?kx?m22?x?3y?6得(1?3k)x?6kmx?3m?6?0 222???36k2m2?12(3k2?1)(m2?2)?12(6k2?m2?2)?0.........(a) ?6km3m2?6,x1x2?2. ----------------------7分 且x1?x2?23k?13k?1 由 整理得1?3k?m....(b)-----------8分 22x1x2??3y1y2??3(kx1?m)(kx2?m)?(1?3k)x1x2?3km(x1?x2)?3m?022uuuruuur22m2?42m2?44?OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2???2? 22231?3kmmuuuruuur422由(a),(b)得m?1?3k?1,?0?2?4，??2?OA?OB?2 muuuruuur综上：??2?OA?OB?2. ----------------------10分 2（ⅱ）由（ⅰ）知，l斜率不存在时， S?OAB?|x1y1|?3y1?3，----------------11分 l斜率存在时， S?OAB211|m|2?6k2?m22 ?|AB|d?1?k|x1?x2|?3|m|22221?3k1?k2将m?1?3k带入整理得S?OAB?3 ----------------------13分 所以?OAB的面积为定值3 . ----------------------14分 高考模拟数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若U?{1,2,3,4,5,6,7,8},A?{1,2,3},B?{5,6,7}，则(CUA)I(CUB)＝ A. {4，8} B. {2，4，6，8} C. {1，3，5，7} D. {1，2，3，5，6，7} 2. 已知复数z??13?i，则z?|z|＝ 22B. ?A. ?13?i 2213?i 22C. 13?i 22D. 13?i 223. 已知数列{an}满足2an?1?an?0,a2?1，则数列{an}的前10项和S10为 A. 410(2?1) 3B. 410(2?1) 3C. 4?104(2?1) D. (2?10?1) 334. 已知sin??cos??12?，则sin(??)? 3417 18 C. A. 1 18 B. 8 9 D. 2 95. 已知：p:x?k,q:A. [2,??) 3?1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是 x?1C. [1,??) D. (??,?1] B. (2,??) 6. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若cosA?则b? A. 1 B. 23 C. 32 D. 3 1,sinC?3sinB，且S?ABC?2，3uuuruuuruuuruuur7. 已知△ABC中，|BC|?10,AB?AC??16,D为边BC的中点，则|AD|等于 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 9. 已知某算法的流程图如图所示，若输入x?7,y?6，则输出的有序数对为 A. （13，14） B. （12，13） C. （14，13） D. （13，12） 10. 将函数h(x)?2sin(2x??4)的图象向右平移 ?个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图4象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象 A. 关于直线x?0对称 C. 关于点（1，0）对称 B. 关于直线x?1对称 D. 关于点（0，1）对称 x2y211. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点F1(?c,0)、F2(c,0)(c?0)，过F2的直线l交双曲线 abuuuruuuruuuruuuur于A，D两点，交渐近线于B，C两点。设F?m,F1A?F1D?n，则下列各式成立的是 1B?FC1A. |m|?|n| B. |m|?|n| C. |m?n|?0 D. |m?n|?0 12. 设函数f(x)的导函数为f?(x)，若对任意x?R都有f?(x)?f(x)成立，则 A. f(ln2014)?2014f(0) C. f(ln2014)?2014f(0) 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分。） 13. 观察下列等式1?1,1?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10，…，根据上述规律，第n个等式为__________。 14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为____________。 32332333233332 B. f(ln2014)?2014f(0) D. f(ln2014)与2014f(0)的大小关系不确定 ?x?0?y?0?15. 设x,y满足?，则z?3x?4y的最大值为___________。 x?y?1?0???x?2y?2?016. P为正方体ABCD?A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP??BD1(??(0,1))。下面结论： ①A1D?C1P； ②若BD1?平面PAC，则??1； 3??1??； 2?③若△PAC为钝角三角形，则???0,④若??(,1)，则△PAC为锐角三角形。 其中正确的结论为___________。（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分12分） 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?log4|an|，求数列{18. （本小题满分12分） 某个团购站为了更好地满足消费者，对在其站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。上个月该站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。 231}前n项和Tn。 bn?bn?1 （Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率； （Ⅱ）该站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率。 19. （本小题满分12分） 已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1?23,BD?A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点。 （Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD； （Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离。 20. （本小题满分12分） 已知圆M：x?(y?2)?1，直线l:y??1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E。 （Ⅰ）求E的方程； 22uuuruuur（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA?OB??16，求证：直线AB恒过定点。 21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?blnx,g(x)?ax?x(a?R)。 （Ⅰ）若曲线f(x)与g(x)在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a,b的值； （Ⅱ）在第（Ⅰ）的条件下，证明：f(x)?g(x)在(0,??)上恒成立； （Ⅲ）若a?1,b?2e，求方程f(x)?g(x)?x在区间(1,e)内实根的个数（e为自然对数的底数）。 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。 （Ⅰ）求证：AC?CQ?AB； 2b2（Ⅱ）若AQ?2AP,AB?3,BP?2，求QD。 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为??242??，直线的极坐标方程为。 l21?sin?2sin??cos?（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知a,b,c?R,a?b?c?1。 （Ⅰ）求证：|a?b?c|?2223； 2（Ⅱ）若不等式|x?1|?|x?1|?(a?b?c)对一切实数a,b,c恒成立，求实数x的取值范围。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B B A D B A D 333C C 1252n2(n?1)2? 15．3 16．①②④ 13．1?2?????n? 14． 3417．（Ⅰ）解：当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又Qan?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1 1 …2分 4?an?1?an?5an?1, ………4分 即an?1111??∴数列?an?是首项为a1??，公比为q??的等比数列， an444∴an?(?)n ………6分 （Ⅱ）bn?log4(?)所以 1414n??n， ………8分 1111??? ………10分 bnbn?1n(n?1)nn?111111?n?Tn??(1?)?(?)?L?(?)??………12分 223nn?1?n?1?18． （Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分 （Ⅱ）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A， 由题意可知，分别抽取3个，2个，1个。 ………6分 不妨设第三组抽到的是A1,A2,A3；第四组抽到的是B1,B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件总数为： ?A1,A2?,?A1,A3?,?A2,A3?,?A1,B1?,?A1,B2?,?A1,C1?,?A2,B1?, ?A2,B2?,?A2,C1?,?A3,B1?,?A3,B2?,?A3,C1?,?B1,B2?,?B1,C1?,?B2,C1? ………10分 所以P(A)?31? ………12分 15519．（Ⅰ）证明 连结MO A1M?MA???MO//AC?1?AO?OC???MO?平面BMD??AC1//平面BMD ………4分 ?AC?平面BMD1???（Ⅱ）设过C1作C1H?平面BDD1B1于H，BD?AA1,BD?AC得BD?面A1AC于是BD?A1O ???1????BAD?60o??AO?AC?3??2??AB?2?????AA1?23??A1O?AC????A1O?平面ABCD ………8分 cos?A1AC?60o???????????A1O?BD??ABCD又因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，所以点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离 A1O?3 ………10分 11113 ………12分 VB?B1C1D1?VC1?BB1D1??AO??2?3??CH??2?23?CH?1113232220． （Ⅰ）设P(x,y)，则x?(y?2)?(y?1)?1?x?8y ………4分 （Ⅱ）设直线AB：y?kx?b，A(x1,y1),B(x2,y2) 22将直线AB代入到x?8y中得x?8kx?8b?0，所以x1?x2?8k,x1x2??8b………6分 222又因为 2uuuruuurx12x2OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2???8b?b2??16?b?4 ………10分 64所以恒过定点(0,4) ………12分 21． （Ⅰ）f(x)?'b',g(x)?2ax?1 x则??g(1)?f(1)?0?a?1 ………3分 ??''?g(1)?f(1)?b?12（Ⅱ） 设u(x)?g(x)?f(x)?x?x?lnx?x?0? u'(x)?'?2x?1??x?1?x ………4分 令u(x)?0?x?1 x ?0,1? ? ? 1 0 极小 ?1,??? ? u'(x) u(x) ? 所以，u?x??u?1??0 即g(x)?f(x) ………7分 (Ⅲ) 设h(x)?f(x)?g(x)?x?blnx?x2x?(1,eb)， ??bb?2x2'?e ………8分 h(x)?，令h(x)?0?x?2x'x ?b? 1,????2??? 1 0 极大 ?bb???2,e?? ??h'(x) ? ? h(x) ? ?b?b?b?ln?1??0 ………10分 所以，原问题h极大?x??h??2???2??2???又因为h?1???1,heb?b?ebx?????b?e? b设t(x)?e?x（x??2e,???） t'(x)?ex?1?0 所以t(x)在?2e,???上单调递增，t(x)?t(2e)?0?ex?x?heb?0 所以有两个交点 ………12分 22． （Ⅰ） ??AB//CD??PAB??AQC????AQC??ACB??PA为圆O切线??PAB??ACB????ACB~?CQA? AQ为圆O切线??QAC??CBA?ACAB???AC2?AB?CQCQAC………5分 （Ⅱ） AB//CD??BPAPAB1?????AP1????PCPQQC3???QC?33,PC?6 AQ2???BP?2,AB?3?AP为eO切线?AP2?PB?PC?12?QA?43 又因为AQ为eO切线?AQ?QC?QD?QD?2163 ………10分 323． 22（Ⅰ）C1:x?2y?2，l:2y?x?4 ………5分 （Ⅱ）设Q?2cos?,sin?，则点Q到直线l的距离 ?d?2sin(??)?42sin??2cos??424?? ………8分 333?当且仅当???4?2k???2，即??2k???42（k?Z）时取等 ………10分 22222224．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，(a?b?c)?(1?1?1)(a?b?c)?3 ∴?3?a?b?c?3 所以a?b?c的取值范围是[?3,2223] ………5分 2222（?1）?1](a?b?c)?3 ………7分 （Ⅱ）同理，(a?b?c)?[1?若不等式|x?1|?x?1?(a?b?c)对一切实数a,b,c恒成立， 则x?1?x?1?3，解集为(??,?]?[,??) 23232………10分 高考模拟数学试卷 本试题卷分第Ⅰ卷和第II卷 两部分，总分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一．选择题（共10小题,50分） 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（ ） ﹣ A．y=x1 B． y=x2 ﹣ y=x2 C． D． 2．复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ） 2+i A． B． 2﹣i C． 5﹣i 5+i D． 3．圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心到直线x﹣y=1的距离为：（ ） 2A． B． C．1 D． 4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ） 31 A． B． 30 C． 25 D． 61 5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 平均环数 方差s2 甲 乙 丙 丁 8.6 8.9 8.9 8.2 3.5 3.5 2.1 5.6 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A．甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 6．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（ ） 0.2 A． 0.5 B． 0.4 C． 0.6 D． 7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ） A．﹣4 8．函数f（x）= B． ﹣7 1 C． 2 D． 的定义域为（ ） A.( - 3, 0] B.（ - 3, 1] C. （﹣∞, ﹣3）∪（﹣3.0） D. （﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1） 9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ） A．直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 不确定 10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ） A． B． C．4 D． 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二．填空题（共5小题,25分） 11．若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为 12．已知向量 ， ．若 ，则实数 k= 的一个焦点，且双曲线的离心率为 13．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线2，则该双曲线的方程为 14．已知命题p：“?x∈[1，2]，使x2﹣a＜0成立”，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是 15．已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆 相切． 其中真命题的序号是 三．解答题（共6小题，75） 16．（12分）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的解析式； （3）若 17．（12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+． （1）求{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20． ，求sinα． 时取得最大值4． 18．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值． 20．（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍． （1） 求动点M的轨迹C的方程； （2） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率． 21．（14分）已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． 参考答案 一．选择题 （每小题5分，共50分）BCDAC CBAAD 二．填空题（共5小题） 11． ． 12．k= ． 13. . 14． a≤1 ． 15. ①③ 三．解答题（共6小题） 16．（2010 广东）解：（1）由周期计算公式，可得T= （3分） （2）由f（x）的最大值是4知，A=4 ，即sin（ ∵0＜ρ＜π，∴∴f（x）=4sin（3x+（3）f（ ）(7分) ）+， ]= ，即sin[3（， ， ）+ ]= ．（12 ∴ ，∴ ）=1 ）=4sin[3（， 分） 17．（2013? 重庆)解：（Ⅰ）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， 故可得an=1×3n1=3n1， 由求和公式可得Sn= = ；(6分) ﹣ ﹣ （Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13， 设数列{bn}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5 故T20=20×3+ 18．（2013? 资阳一模）解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0， 又a＞0，所以a＜x＜3a， 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（2分） 由 =1010（12分） 得 解得2＜x≤3， 即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分） 若p∧q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是（2，3）．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a， 则?p：x≤a或x≥3a，（8分） q：2＜x≤3，则?q：x≤2或x＞3，（10分） ?p是?q的充分不必要条件，则?p??q，且?q??p， ∴ 解得1＜a≤2， 故实数a的取值范围是（1，2]．（12分） 19．（2006?上海） 解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得 ∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°． 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO， 于是，PO=BOtan60°= ，而底面菱形的面积为2 × ． ∴四棱锥P﹣ABCD的体积V=×2（2） 取AB的中点F，连接EF、DF． 由E是PB的中点，得EF∥PA， =2．（6分） ∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）， 在Rt△AOB中AO=ABcos30°=于是，在等腰Rt△POA中， PA= ，则EF= ． ， =OP， 在正△ABD和正△PBD中，DE=DF= cos∠FED== 20．（2013? 陕西）解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则 |x﹣4|=2整理得 ． ，即（x﹣4）2=4[（x﹣1）2+y2]， 所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为；（5分） （Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2， 2y1=3+y2． 椭圆的上下顶点坐标分别是 过这两点，即直线m的斜率k存在． 设直线m的方程为：y=kx+3． 和 ，经检验直线m不经 ，得 ， 联立， 整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0． ． 因为2x1=x2． 则 所以． 即，解得． 所以，直线m的斜率 ∴异面直线DE与PA所成角的余弦是 ．（13分） （12分） 21、（2013浙江）解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6 ∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；（4分） （Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a） 令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a 当a＞1时， x f′（x） 0 （0，1） + 1 0 （1，a） - a 0 极小值 a2（3-a） （a，2a） + 2a f（x） 0 单调递增 极大值3a-1 单调递减 单调递增 4a3 比较f（0）=0和f（a）=a2（3-a）的大小可得g（a）= （9分）； 当a＜-1时， f′x） f（x） ∴g（a）=3a-1 0 0 （0，1） - 单调递减 1 0 极小值3a-1 { 0，1＜a≤3 a2(3?a)，a＞3 （1，-2a） + 单调递增 -2a -28a3-24a2 ∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）= 3a ? 1 ， a ＜ ? 1 （14分） ??0，1＜a≤3 ? ??a2(3?a)，a＞3 高考模拟数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请 将你认为正确的选项答在指定的位置上。） 1．已知集合M?{x|x2?1?0},N?{x|A．{?1,0} B．{1} 1?2x?1?4,x?Z},则MIN?( ) 2C．{?1,0,1} D．? 2．设z?1?i（i是虚数单位），则 2?z? ( ) zA．2?2i B．2?2i C．3?i D． 3?i 2109103.若多项式x?x?a0?a1(x?1)?????a9(x?1)?a10(x?1)，则a9? （ ） A.9 B.10 C.?9 D.?10 4．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( ) ．．A．C．(4??)3 3(8??)3 3(8??)3 6B．D．(4??)3 5．设x?0,y?0，且 11??4,z?2log4x?log2y， x2y则z的最小值是（ ） A. ?4 B. ?3 C. ?log26 D. 2log23 8?x?0,?6.若?为不等式组 ?y?0, 表示的平面区域，则当t从?2连续变化到1时，动直线x?y?t扫过?中 ?y?x?2?的那部分区域的面积为 ( ) A. 37 B. 1 C. D. 2 44y P x 7．函数y?sin(?x??)(??0)的部分图象如右图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,记?APB??,则sin2?的值是( ) A． 8．下列命题中①“x?y”是“x?y”的充要条件; 22A O B 16 65 B． 63 65 C．?16 63D．?16 652②若“?x?R,x?2ax?1?0”，则实数a的取值范围是(??,?1)?(1,??); ③已知平面?,?,?，直线m,l，若???, ?I??m, ?I??l, l?m，则l?? 111④函数f(x)?()x?x的所有零点存在区间是(,).其中正确的个数是( ) 323A．1 B．2 C．3 D．4 9.某教师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并 且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法（ ） A．474种 B. 77种 C．462种 D．79种 10．已知函数f(x)?xex，方程f2(x)?tf(x)?1?0(t?R)有四个实数根，则t的取 值范围为( ) e2?1e2?1e2?1e2?1A．(,??) B．(??,?) C．(?,?2) D． (2,) eeee 二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置） 11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 12．下图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有________个. 13．已知在平面直角坐标系中，A(?2,0),B(1,3),O为原点，且OM??OA??OB,（其中????1,?,?均为实数），若N（1，0），则|MN|的最小值是 ； x2y214.已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率为3的直线 abuuuruuur交C于A、B两点，若AF?4FB,则双曲线C的离心率为 15.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数m满足?x?M(M?D)，均有x?m?D，且则称f(x)为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x?0时，f(x?m)?f(x)， f(x)?x?a2?a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 16.（本小题满分12分） rrrrr1已知向量a?(sinx,?1),b?(3cosx,?),函数f(x)?(a?b)?a?2. 2(1)求函数f(x)的最小正周期T及单调减区间; (2)已知a，b，c分别为?ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a?23,c?4,且f(A)?1.求A， b的长和?ABC的面积. 17.（本题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB?2，AD?EF?1. （Ⅰ）求证：AF?平面CBF； （Ⅱ）求三棱锥C?OEF的体积； （III）求二面角的E?BC?F大小. 18（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分 A D B E C O F 432别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,,, 543且每个问题回答正确与否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用表示小王所获得奖品的价值,写出的概率分布列,并求的数学期望. 19.（本小题满分12分） 2各项均为正数的数列?an?前n项和为Sn,且4Sn?an?2an?1,n?N?. (1)求数列{an}的通项公式; (2)已知公比为q(q?N?)的等比数列?bn?满足b1?a1，且存在m?N?满足bm?am,bm?1?am?3,求数列
【20套精选试卷合集】陕西省陕西师大附中2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
