专题 11 圆锥曲线的基本量
x2y21、M为C上一点且在第一象限．【2024年高考全国Ⅲ卷文数】设F1，F2为椭圆C:若+?1的两个焦点，
3620△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】3,15
【解析】由已知可得a?36,b?20,?c?a?b?16,?c?4，
22222???MF1?F1F2?2c?8，∴MF2?4．
设点M的坐标为?x0,y0??x0?0,y0?0?，则S△MF1F2?又S△MF1F2?2x0??361?F1F2?y0?4y0， 21?4?82?22?415,?4y0?415，解得y0?15， 22?15?20?1，解得x0?3（x0??3舍去），
\\M的坐标为3,15．
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、
??MF2，设出M的坐标，结合三角逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出MF1、形面积可求出M的坐标.
y22、【2024年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x?2?1(b?0)经过点（3，4)，则该双
b2曲线的渐近线方程是 . 【答案】y??2x
42【解析】由已知得3?2?1，解得b?2或b??2，
b2因为b?0，所以b?2. 因为a?1，所以双曲线的渐近线方程为y??2x.
双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a,b密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
x2y23、【2024年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点F(c,0)ab到一条渐近线的距离为【答案】2
3c，则其离心率的值是________________． 2bc?0bcb??b，所以【解析】因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y??x，即bx?ay?0的距离为22caa?bb?3c， 2因此a?c?b?c?222232121c?c，a?c，e?2． 442本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.
熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.
4、【2024年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ） A．
2 2B．1
C．2 【答案】C
D．2
【解析】因为双曲线的渐近线方程为x?y?0，所以a?b，则c?a2?b2?2a，所以双曲线的离心率e?c?2.故选C. a本题根据双曲线的渐近线方程可求得a?b，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
x2y25、【2024年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C
ab的离心率为（ ）
A．2sin40° C．
B．2cos40° D．
1
sin50?1
cos50?【答案】D
【解析】由已知可得?2bb?tan130?,??tan50?， aacsin250?sin250??cos250?1?b?2， ?e??1????1?tan50??1???22acos50?cos50?cos50??a?故选D．
22xy??1的一个焦点，则p=（ ）6、 【2024年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
3ppA．2 C．4
B．3 D．8
【答案】D
x2y2p??1的一个焦点，所以【解析】因为抛物线y?2px(p?0)的焦点(,0)是椭圆
3pp22p3p?p?()2，解得p?8，故选D．
2本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如p?2时，抛物线焦点2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D． 为（1，0），椭圆焦点为（±
x27、【2024年高考北京卷文数】已知双曲线2?y2?1（a>0）的离心率是5，则a=（ ）
aA．6 C．2 【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率e?
B．4 D．
1 2c?5，c?a2?1， a1a2?1a?∴，解得， ?52a故选D.
本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a，b，c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
x2y28、【2024年高考天津卷文数】已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线2?2?1(a?0,b?0)ab2的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A．2 C．2 【答案】D
【解析】抛物线y?4x的准线l的方程为x??1， 双曲线的渐近线方程为y??则有A(?1,),B(?1,?)，
2B．3 D．5
bx， abbaa2b2b?4，b?2a， ∴AB?，
aaca2?b2∴e???5. aa故选D.
本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把
AB?4OF用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.
x2y20)，则C的离心率为（ ）9、【2024年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C：2? ?1的一个焦点为(2，a4A．
1 32 2B．
1 222 3C．D．
【答案】C
【解析】由题可得c?2，因为b2?4，所以a2?b2?c2?8，即a?22， 所以椭圆C的离心率e?222?2，故选C． 2本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a,b,c的关系求得结果.
10、【2024年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线
x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│?│MP│为定值？并说明理由．
【解析】（1）因为eM过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且
A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y?x上，故可设M(a, a).
因为eM与直线x+2=0相切，所以eM的半径为r?|a?2|.
由已知得|AO|=2，又MO?AO，故可得2a?4?(a?2)，解得a=0或a=4. 故eM的半径r=2或r=6.
（2）存在定点P(1,0)，使得|MA|?|MP|为定值. 理由如下：
设M(x, y)，由已知得eM的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
uuuuruuur22uuuuruuur2222由于MO?AO，故可得x?y?4?(x?2)，化简得M的轨迹方程为y?4x.
因为曲线C:y?4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x??1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1. 因为|MA|?|MP|=r?|MP|=x+2?(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.
本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.
2x2y211、【2024年高考全国Ⅱ卷文数】已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P为C上一点，
abO为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1?PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 【解析】（1）连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，?F1PF2?90?，PF2?c，
2024年高考数学二轮专项提升(江苏)专题11 圆锥曲线的基本量(解析版)
