圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第3章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设?a11
A???a21
??a31
a12a22a32a13?
a23??a33??
?a21?a，B?11?
??a31?2a11a22a12a32?2a12?
a13??，a33?2a13??
a23?100??100??010?
?010?P??010?P??100?P?1?，则B＝（?，3???，2?
????001???021???201??
A．P1P3AB．P2P3AC．AP3P2D．AP1P3【答案】B）。【解析】CD两项，矩阵A作两次行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。AB两项，把矩阵A第1行的2倍加至第三行后，再1，2两行互换可得到矩阵B；或者把矩阵A的1，2两行互换后，再把第2行的2倍加至第3行亦可得到矩阵B，而P2P3A正是后者。2．已知A，B均是三阶矩阵，将A中第3行的－2倍加至第2行得到矩阵A1，将B?100???中第2列加至第1列得到矩阵B1，又知A1B1?020，则AB＝（????003??1/130）。圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?100?
??A．?226????003??
?100?
??B．22?6????003???100???C．?124????003???100???D．12?4????003??
【答案】A【解析】A经行初等变换得到A1，故A1＝PA，P是初等矩阵，类似地B1＝BQ，可构造出A1B1＝PABQ。据已知条件，令?100??100?
?,Q??110?P??01?2????
???001???001??
则A1＝PA，B1＝BQ那么A1B1＝PABQ，于是?100??100??100??100???020???110????226?AB?P?1A1B1Q?1??012??????????001????003????001????003??3．设?123??001??100?
?,P??010?,Q???110?A??456??????
????789???100???001??
2/130，那么圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?1?P??12012A?Q2011?＝（）。?80541005712069?
?56?A．?4??89??7??402323???B．?1005956???1609589??23??1??C．?201540276039?
?89??7??120133???D．?480496?
??7140859??
【答案】B【解析】P、Q均为初等矩阵，因为P－1＝P，且P左乘A相当于互换矩阵A的1，3两行，那么P2012A表示将A的1，3两行互换2012次，从而(P)
?12012
A?P2012A?A。?100?
???12011?1?12011
又(Q)?(Q)且Q??110?，而Q－1右乘A相当于把矩阵A的第2??001??
列加至第1列，那么A(Q)正确。?12011
表示把矩阵A第2列的2011倍加至第1列，所以B选项4．设A与B均为n阶矩阵，且A与B等价，则不正确的命题是（A．|A|＞0，则|B|＞0B．如果|A|≠0，则有可逆矩阵P使PB＝EC．如果A≌E，则B是可逆矩阵D．有可逆矩阵P与Q，使PAQ＝B3/130）。圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【答案】A【解析】BC两项，按定义，A与B等价表明A经初等变换可得到B，因而必有r（A）＝r（B）。如果|A|≠0或A?E，均表明A可逆，因此B一定是可逆矩阵。作为可逆矩阵可以?E，Pi是初等矩阵。只用行变换（或只用列变换）化为单位矩阵，即PB?Ps???P2PB1
D项，因为A与B等价，故A经若干次行、列初等变换得到B，即Ps???P2P1AQ1Q2???Qt?B，所以PAQ＝B。A项，当A?B，若用到某两行（列）互换，则行列式要变号，对|A|＞0，不能保证必?52??34???有|B|＞0，例如???，虽A与B等价，|A|＞0，但|B|＜0。3452????
?a2?13???4?265．设A?2??，B是4×2的非零矩阵，且AB＝0，则（???1?2a?3??
A．a＝1时，B的秩必为2B．a＝1时，B的秩必为1C．a≠1时，B的秩必为1D．a≠1时，B的秩必为2【答案】C【解析】当a＝1时，易见秩r（A）＝1。当a≠1时，由于）。a2?1a2?1
224?2?24?2?4?a?1??0?1?2aa?10a?1
知r（A）＝3。由于AB＝0，A是3×4矩阵，有r（A）＋r（B）≤4。那么当a＝1时，r（A）＝1，4/130圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1≤r（B）≤3，B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2；当a≠1时，r（A）＝3，所以必有r（B）＝1。6．设A为四阶方阵，且满足A2＝A，则秩r（A）＋秩r（A－E）＝（A．4B．3C．2D．1【答案】A）。【解析】由于A（A－E）＝A2－A＝0，故r（A）＋r（A－E）≤4，又E＝（E－A）＋A，故4＝r（E）＝r（E－A＋A）≤r（E－A）＋r（A）＝r（A－E）＋r（A），从而r（A）＋r（A－E）＝4。7．若A，A*和B均是n阶非零矩阵，且AB＝0，则必有r（B）＝（A．1B．2C．n－1D．条件不够不能确定【答案】A【解析】若A是m×n矩阵，B是n×5矩阵，且AB＝0，则有（1）B的列向量是齐次方程组AX＝0的解；（2）秩r（A）＋r（B）≤n。5/130）。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)配套题库【考研真题精选+章节题库】(3-6章)【圣才出
