第10讲 最值问题之将军饮马问题
最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压 轴位置。 模型讲解 【基本模型】
问题：在直线I上找一点P,使得FA+ PB的值最小 解析：连接AB，与直线I交点即为点P（两点之间线段最短） 【拓展模型1】
问题：在直线/上找一点P,使得PA + PB的值最小
I的交点即为点P,此时
PA+ PB的最小值即为线段
BA 的长度. 【练习】
1、尺规作图：在直线 MN上找一点P,使得/ APN = Z BPN .（保留作图痕迹）
A
■
甘 ----------------------- jV
【模型拓展2】
1、如图，已知点 P为定点，定长线段 AB在直线MN上运动，在什么位置时，
PA= PB最小?
J M / V T !F M. 弋厂一'青 打 ◎…皿 ----------------- ° y * f ;/ 思维转化：将线段 AB移动，点P不动，理解为线段 AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为 最基本
模型
【模型拓展3】
问题：J MON内一定点A,点P、Q分别为0M、ON上的动点，求△ APQ周长的最小值.
Al、A2,连接AIA2，与ON、OM交点即为Q、P,线段AIA2的长
度即为△ APQ周长的最小值.
基本结论:
① 厶A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段 OA的长. ② / AIOA2= 2/ MON .
四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段 AB+ A' B'的长度和.
【模型拓展4】
问题：求AB + BC + CD的最小值问题
解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D',连接A' D '，最小值即为线段 A' D' 的长度.
（作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将
OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整
【模型拓展5】
MN垂直两平行线，求 AM + MN + NB的最小值模型.
）
其中MN为定值，故只需求 AM + NB的最小值，将点 A向下平移MN的长度得到A：连接A'B,线段 A'B的长度即为 AM + NB的最小值
直线I上有一长度不变线段 MN移动，求AM + MN + NB最小值的模型.
将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为 【例题讲解】
MN + A2B
例题1、如图，在平面直角坐标系中， Rt△ OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点 B的坐标为(3 , 3),
点C的坐标为(1, 0)，点P为斜边0B上的一动点，贝U PA + PC的最小值为 ________________ .
解：作A关于0B的对称点D,连接CD交0B于P,连接AP，过D作DN丄0A于N, 则此时PA + PC的值最小，
?/ DP = FA,A PA+ PC= PD + PC = CD , v B(3 , ?/ tan/A0B = AB =
0A 3
11
3
3)，二 AB = 3 , 0A= 3,
A0B = 30°,「. 0B = 2AB= 2 3 ,
3
1
3 2
由三角形面积公式得：
2
X 0AX AB= 1 X 0B X AM
2
AM = 3 AD = 2X 3 = 3,
2
v/ AMB = 90°,/ B= 60 ° ,A/ BAM = 30°,v/BA0 = 90°,「./
DN=
0AM = 60°,
3
?/ DN 丄 OA ,???/ NDA = 30 °,「. AN= 1 AD = 3，由勾股定理得：
2 2 2
3 ,
31
v C( 1 , 0) ,? CN = 3 - 1 - 3 = 1，在 Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC =
2 2 2 2
,
即PA + PC的最小值是 31 .
2 【思考】
若把题中条件点“ C的坐标为(1 , 0) ”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时 2 PA + PC最小值又是多少呢？
解答：??? PA + PC= PC + PD = CD > DN = 3 3 ,二 PA + PC 的最小值为 3 3 .
2 2
例题2、某长方体的长、宽、高分别为 长是多少？
4、3、5,
A沿长方体侧面爬到点
B,则最短路线
(1) 如图1,点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点
(2) 如图2,点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 到达点C,那么所用细线最短长度是 ____________ .
(3) 如图2,点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 到达点C,那么所用细线最短长度是 ____________ .
A开始经过 4个侧面缠绕一圈 A开始经过 4个侧面缠绕三圈
3 圈(如图)，那么螺
(4) 如图3,已知圆柱高4米，底面周长1米?如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱 旋形花圈的长至少
米.
區】
答案：
(1) 74
⑵ 221
⑶ 1789
16
例题3、如图, 在五边形
ABCDE 中，/ BAE = 120°,/ B=Z E = 90°, AB = BC= 1 , AE = DE = 2，在
BC、 DE上分别找一点 M、N.
(1) 当厶AMN的周长最小时，/ AMN + / ANM = (2) 求厶AMN的周长最小值.
E
解：作A关于BC和ED的对称点A: A〃，连接A'A〃，交BC于M，交ED于N,则A'A〃即为△ AMN的周 长最小
值.
⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为
H，/ BAE = 120 °, ?/ AA'A〃 + / AA 〃A'= 60°,
/ AAA〃=/ A AM , / AA〃A'=/ EAN,.?./ CAN = 120。—/AAA\—/AA〃A'= 60° 也就是说/ AMN +/ ANM = 180° — 60°= 120° . ⑵过点A'作EA延长线的垂线，垂足为 H,
v AB= BC = 1 , AE = DE = 2, ? AA = 2BA = 2, AA'= 2AE = 4,
贝U Rt△ A HA 中，v/ EAB = 120°，?/ HAA = 60°,
1 _
-A H 丄 HA，…/ AA H = 30 ，…AH = — AA '= 1 ,? A 'H= -<3 , A\= 1 + 4 = 5,
? AA〃= 2 7 , 例题4、如图，正方形 ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE = 1 ,长为.2的线段MN在
AC上运动.
(1)求四边形BMNE周长最小值;
⑵当四边形BMNE的周长最小时，则tan/ MBC的值为 ______________
解：作EF // AC且EF = 2，连结 DF交AC于M，在AC上截取 MN = 2，延长 DF交BC于P,
作FQ丄BC于Q,作出点E关于AC的对称点E',贝U CE = CE= 1,将MN平移至E'F'处, 则四边形MNE' F为平行四边形,
当BM + EN = BM + FM = BF '时，四边形 BMNE的周长最小, 由/ FEQ =/ ACB = 45°,可求得 FQ = EQ= 1,
v/ DPC = / FPQ , / DCP = / FQP , ?△ PFQPDC ,
PQ
... -------- = PQ ,.?? PQ = 1，解得：PQ = 2 ,??? PC = 8 ,
PQ QE EC CD PQ 2 4
3 3
中考培优竞赛专题经典讲义第9讲最值问题之将军饮马问题
