突破点3 平面向量
(对应学生用书第167页)
提炼1 平面向量共线、垂直的两个充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
提炼2 数量积常见的三种应用 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的长度：|a|＝a·a＝x1＋y1. (3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝
提炼3 2
2
a·bx1x2＋y1y2
＝22. 2
|a||b|x1＋y1·x22＋y2平面向量解题中应熟知的常用结论 →→→(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且λ＋μ＝1.
→1→→
(2)C是线段AB中点的充要条件是OC＝(OA＋OB)．
2→→
(3)G是△ABC的重心的充要条件为GA＋GB＋GC＝0，若△ABC的三个顶点坐标分别为
→
x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为(，). 3
3
→→→→→→
(4)PA·PB＝PB·PC＝PA·PC?P为△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ＝向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ＝a·b， |a|
a·b. |b|
回访1 平面向量的线性运算
→→
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) →1→4→A.AD＝－AB＋AC
33→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→C.AD＝AB＋AC
33→4→1→D.AD＝AB－AC
33
→→→→→→
A [∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)， →→→→1→4→即4AC－AB＝3 AD，∴AD＝－AB＋AC.]
33
2．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
1
[∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 2
?λ＝t，?
即λa＋b＝ta＋2tb，∴?
??1＝2t，
??
解得?1
t＝??2.
λ＝，
1
2
]
回访2 平面向量的数量积
→→
3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝
( )
32
A．－a
232C.a 4
32
B．－a
432D.a 2
→→→→32
D [由已知条件得BD·CD＝BD·BA＝3a·acos 30°＝a，故选D.]
2
→→π
4．(2014·山东高考)在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为
6________．
→→1πππ→→2
[已知A＝，由题意得|AB||AC|cos＝tan，|AB||AC|＝，所以△ABC的面积S666631→→π1211＝|AB||AC|sin＝××＝.] 262326
(对应学生用书第167页)
热点题型1 平面向量的运算
题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等.
→→
(1)(2016·深圳二模)如图3-1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM→
＋μBD，则λ＋μ＝( )
图3-1
4A. 3C.15 8
5B. 3D．2
(2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC→→
的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
5A．－
81C. 4
1B. 8D.11 8
(1)B (2)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，→→→→→→所以AC＝(2,2)，AM＝(2,1)，BD＝(－2,2)．由AC＝λAM＋μBD，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋
??2λ－2μ＝2，
2μ)，所以?
??λ＋2μ＝2，
4
λ＝，??3解得?1
μ＝??3，
5
所以λ＋μ＝，故选B.
3
→→→→→→→→→?→1→?
法二：因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ?AB＋AD?＋μ(－AB＋AD)
?2?λ－μ＝1，
?＝(λ－μ)→AB＋??1?＝，?2λ＋μ??→
??AD，所以??1
?2λ＋μ＝1，
λ4
?3得??μ＝1
3，
故选B.
(2)如图所示，→AF＝→AD＋→
DF. 又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以→AD＝1→→1→1→3→
2AB，DF＝2AC＋4AC＝4AC，
所以→AF＝1→3→
2AB＋4AC.
又→BC＝→AC－→
AB，
则→AF·→BC＝??1→?2AB＋3→4AC???·(→AC－→AB)
＝1→2AB·→AC－1→2AB2＋3→4AC2－3→4AC·→
AB ＝3→4AC2－1→21→→2AB－4
AC·AB. 又|→AB|＝|→
AC|＝1，∠BAC＝60°， 故→AF·→BC＝31111
4－2－4×1×1×2＝8
.故选B.]
?所以λ＋μ＝5
3
，
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
[变式训练1] (1)(2015·山东高考)过点P(1，3)作圆x＋y＝1的两条切线，切点→→
分别为A，B，则PA·PB＝________.
(2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，则＝__________. 【导学号：67722017】
3
(1) (2)－2 [(1)如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝1＋3＝2，又OA＝OB＝1，2→→3
可以求得AP＝BP＝3.∠APB＝60°，故PA·PB＝3×3×cos 60°＝.
2
??λn＝m，
(2)∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则?
?－λ＝2，?
2
2
mn
解得＝－2.]
mn
热点题型2 三角与向量的综合问题
题型分析：平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.
3??
? (名师押题)已知向量a＝?sin x，4??，b＝(cos x，－1)． (1)当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，sin B＝
π???π??6?，求y＝f(x)＋4cos ?2A＋??x∈?0，??的取值范围．
6???3??3?
2
3
[解] (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，2分
43
∴tan x＝－，4分
4
年高考数学二轮专题复习与策略第部分专题三角函数与平面向量突破点3平面向量教师用书理
