点评： 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
xαα
7．（5分）“指数函数y=a（a＞1）是增函数，y=x（α＞1）是指数函数，所以y=x（α＞1）是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（） A． 推理完全正确 B． 大前提不正确 C． 小前提不正确 D． 推理形式不正确
考点： 演绎推理的基本方法． 专题： 综合题；推理和证明．
α
分析： 小前提：y=x（α＞1）是幂函数，不是指数函数，即可得出结论．
α
解答： 解：小前提：y=x（α＞1）是幂函数，不是指数函数， 故选：C．
点评： 演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论
8．（5分）直线
，（t为参数）上与点P（3，4）的距离等于
的点的坐标是（）
A． （4，3） B． （﹣4，5）或（0，1） 3）或（2，5）
考点： 两点间的距离公式． 专题： 直线与圆．
分析： 直接利用两点间距离公式求解即可． 解答： 解：直线
C． （2，5） D． （4，
，（t为参数）上与点P（3，4）的距离等于，
可得即：
，
=，
解得t=±1． 所求点的坐标为：（4，3）或（2，5）． 故选：D．
点评： 本题考查两点间距离公式，考查计算能力． 9．（5分）袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为（） A．
B．
C．
D．
考点： 条件概率与独立事件． 专题： 概率与统计．
分析： 由题意知道，在前两次取出的是白球的前提下，袋中还有4个红球，4个白球，根据概率公式计算即可．
解答： 解：袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下， 袋中还有4个红球，4个白球， 故第三次取出红球的概率P=
=，
故选：A．
点评： 本题主要考查了等可能事件的概率，以及对立事件和古典概型的概率等有关知识，是历年2015届高考的必考题型． 10．（5分）已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） B． （﹣1，0）∪（1，+∞） C． （﹣1，0）∪（0，1） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 根据题意构造函数g（x）=
，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判
断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出
g（x）是偶函数，由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，再转化f（x）＞0，由图象求出不等式成立时x的取值范围． 解答： 解：由题意设g（x）=
，则g′（x）=
∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，
∴f（x）﹣xf′（x）＜0，则当x＞0时，g′（x）＜0， ∴函数g（x）=
在（0，+∞）上为减函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，函数g（x）的图象大致如右图： ∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，∴
或
，
由函数的图象得，0＜x＜1或x＜﹣1， ∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（1，0）∪（﹣∞，﹣1）， 故选：A．
点评： 本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上） 11．（5分）二项式
考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题．
分析： 利用二项展开式的通项公式求出
展开式的通项，令x的指数为0求
的展开式中的常数项为﹣10．
出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
rr15﹣5r
解答： 解：展开式的通项为Tr+1=（﹣1）C5x 令15﹣5r=0得r=3
3
所以展开式中的常数项为﹣C5=﹣10 故答案为﹣10
点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
2
12．（5分）已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N（1000，50），那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为．
考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 计算题；概率与统计．
2
分析： 某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N（1000，50），可得图象关于x=1000对称，即可求出该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率，
2
解答： 解：∵某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N（1000，50）， ∴图象关于x=1000对称，
∴该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为， 故答案为：．
点评： 本题主要考查了正态分布的意义，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5分）已知函数f（x）=tanx，则f（x）在点y+1﹣
=0．
处的线方程为2x﹣
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；直线与圆． 分析： 求出f（x）的导函数，把x=方程即可得到切线方程．
2
解答： 解：f′（x）=secx， 把x=
代入得到切线的斜率k=f′（
）=sec
2
代入到导函数中求出切线的斜率和切点，再由点斜式
===2，
切点为（，1），
），
则所求切线方程为y﹣1=2（x﹣即为2x﹣y+1﹣故答案为：
=0．
．
点评： 本题考查学生会利用导函数求切线的斜率，考查直线方程的点斜式，会进行导数的
运算． 14．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的件数，则EX=．
考点： 离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．
分析： 由题意，知X取0，1，2，求出概率，即可求解EX．
解答： 解：由题意，知X取0，1，2，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即 P（X=0）=
=
，
P（X=1）==，
P（X=2）==．
于是EX=0×+1×+2×=．
故答案为：．
点评： 本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是找到与每个ξ的值相对应的概率P的值． 15．（5分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是3．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： 根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可．
解答： 解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是（
）
，
米，
则该长方体的体积V（x）=
由V′（x）=0，得到x=1，且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0， 即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值． 所以该长方体体积最大值是3． 故答案为：3．
点评： 本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力． 16．（5分）“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第50个数对是（5，6）．
考点： 归纳推理． 专题： 推理和证明．
北京市延庆县高二数学下学期期末试卷 理（含解析）
