考查等差数列的求和，属于中档题．
18．（12分）（2017?平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；
1～50名 951～1000名 近视 不近视 41 9 32 18 （Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？
（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附K2=P（K2≥k） k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．
（Ⅱ）求出k2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．
6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，（Ⅲ）依题意，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分）
所以视力在4.8以上的人数为人．… （Ⅱ）
，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）
6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，（Ⅲ）依题意，所以ξ可取0，1，2.ξ的分布列为
ξ P …（10分） ξ的数学期望
．…（12分）
0 ，，，
1 2 【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）（2017?平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．
（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC； （Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．
（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．
解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C﹣PD﹣B的余弦值即可． 【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，
连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分） 又∵△PAB为等边三角形， ∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F， ∴AF⊥平面BPC．… 又DE∥AF．
∴DE⊥平面BPC，又DE?平面DPC， ∴平面DPC⊥平面BPC．…
（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，
BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平
面角．…（7分）
由题意知，DP=DC=∴在△PDE中，又∴
， ，∴
，PC=，∴，∴，
．…（10分）
．…（12分）
（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），
，C（0，2，2），D（0，0，1）． ，
，
，
；
．…（8分）
，
设平面PDC和面PBC的法向量分别为由
，得
，令y=﹣1得
由，得，令a=1得．…（10分）
．…（12分）
∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）（2017?平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D． （Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．
【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点坐标得答案；
（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．
【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点∵E（1，0），∴
，
．
，
，由题意DE⊥DQ，得
，代入
在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．
∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）； （Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），
，
，
则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0． 由A，Q，Q1共线，得
，从而
（
，否则Q1不存在），
由E，Q，Q2共线，得
，从而
（t≠0，否则Q2不存在），
∴，，
∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0， 令
，得x=﹣1，y=﹣4．
∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．
21．（12分）（2015?新课标Ⅱ）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围． 【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
2017年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科） 有答案
