本资料由阳光家教网整理www.ygjj.com 阳光家教网祝您取得好成绩 且sinAcosC?3cosAsinC, 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
22sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2有:a??3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知
2ab2bc. a2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2
①
22222又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC
sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC
由正弦定理得sinB?由①，②解得b?4.
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练
题型4：三角形中求值问题
例7．?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos值，并求出这个最大值。
B+CπAB+CA
解析：由A+B+C=π，得2=2 －2，所以有cos2 =sin2。 B+CAAAA13
cosA+2cos2 =cosA+2sin2 =1－2sin22 + 2sin2=－2(sin2 － 2)2+ 2； πA1B+C3
当sin2 = 2，即A=3 时, cosA+2cos2取得最大值为2。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三
bsinC，故b?4ccosA c ②
B?C取得最大2本资料由阳光家教网整理www.ygjj.com 阳光家教网祝您取得好成绩 角函数的性质求得结果。 例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且
?????A25???满足cos?，AB?AC?3．
25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos2A2523?1?2?()?1? 255又A?(0,?)，sinA?1?cos2A?43，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所以55114bc?5，所以?ABC的面积为：bcsinA??5??2
225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?
点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的
公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型5：三角形中的三角恒等变换问题
例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及
bsinB的值。 cb2?c2?2bccosA?25?1?2?3?25
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用b2bsinB余弦定理。由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。
cc解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
2
b2?c2?a2bc1在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。
2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，
a3bsinBb2sin60?∴=sin60°=。 ?2cac解法二：在△ABC中，
由面积公式得
11bcsinA=acsinB。 22∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
3bsinB=sinA=。
2c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
∴
本资料由阳光家教网整理www.ygjj.com 阳光家教网祝您取得好成绩 例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanACAC?tan?3tantan的2222值。
解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
从而
A?CA?C＝60°，故tan?3.由两角和的正切公式，
22AC?tan22?3。 得
AC1?tantan22tan所以tanACAC?tan?3?3tantan, 2222tanACAC?tan?3tantan?3。 2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知
角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 题型6：正、余弦定理判断三角形形状
例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径
例12．（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且sinA?510,sinB? 510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。
510,sinB? 510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310,cosB?1?sin2B? 510
本资料由阳光家教网整理www.ygjj.com 阳光家教网祝您取得好成绩 253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4
（II）由（I）知C?由
23?，∴ sinC?
24abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b
又∵ a?b?∴
2?1 2?1 ∴ b?1 5
北
2b?b?2,c?∴ a?题型7：正余弦定理的实际应用
例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一
平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的别为75，30，于水面C处测得B点和D角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的
算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）
解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，sin?BCAACsin60??个与水灯塔的
A 10 ?C 20 00B
?
仰角分点的仰间距离距离（计
0AB?ACsin?ABC,
即AB=sin15?32?620,
本资料由阳光家教网整理www.ygjj.com 阳光家教网祝您取得好成绩 32?620因此，BD=
?0.33km。
故B，D的距离约为0.33km。 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
（2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水
平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤
?1,?1解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM?dsin?2 ；
sin(?1??2)第二步：计算AN . 由正弦定理AN?dsin?2 ；
sin(?2??1)AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??1) .
第三步：计算MN. 由余弦定理MN?方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角?1，?1；B点到M，N点的府角?2，?2；A，B的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理BM?
dsin?1 ；
sin(?1??2)
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