专题三 解析几何
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析 1.直线与圆、圆与圆的位 本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017置关系(5年4考) 常考点 2.圆锥曲线的方程及几面积问题等；有时考查直线与圆(如2016年)，经何性质(5年5考) 常与向量结合在一起命题． 偶考点
第一讲 | 小题考法——解析几何中的基本问题
考点(一) 直线、圆的方程 主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.
[题组练透]
4
1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，
直线的方程、圆的方程 年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、大题考情分析 x则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
4??解析：法一：由题意可设P?x0，x0＋?(x0>0)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝x?
0
?
?x0＋x0＋4??2x0＋4?2 ??x0?x0?????
2
＝2
≥2x0·2
4
x0
4
＝4，当且仅当2x0＝，
x0
即x0＝2时取等号．故所求最小值是4.
444?x，＋x0?法二：设P?0(x0>0)，由y＝x＋得y′＝1－2，则曲线在点P处的切线的斜率?x0xx??444
为k＝1－2.令1－2＝－1，结合x0>0得x0＝2，∴ P(2，32)，曲线y＝x＋(x>0)上的
x0x0x点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝4.
答案：4
|2＋32|
＝2
2．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直
线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．
解析：法一：根据圆经过点A(1，3)，B(4，6)，知圆心在线段AB的垂直平分线上，由点A(1，3)，B(4，6)，知线段AB??x－2y－1＝0，
的垂直平分线方程为x＋y－7＝0，则由?得
?x＋y－7＝0，?
??x＝5，22?即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r＝（5－1）＋（2－3）＝17，故圆的标准?y＝2，?
方程为(x－5)＋(y－2)＝17.
法二：因为圆心在直线x－2y－1＝0上，所以圆心坐标可设为(2a＋1，a)，又圆经过点
22
A(1，3)，B(4，6)，所以圆的半径 r＝
2
2
（2a＋1－1）＋（a－3）＝
2
2
22
（2a＋1－4）＋（a－6），解得a＝2，所以r＝17，故圆的标准方程为(x－5)＋(y－2)＝17.
法三：设圆心的坐标为(a，b)，半径为r(r＞0)，因为圆心在直线x－2y－1＝0上，且圆经过点A(1，3)，B(4，6)，
?? a－2b－1＝0，
所以? 22222
?（a－1）＋（b－3）＝（a－4）＋（b－6）＝r，?
得a＝5，b＝2，r＝17，故圆的标准方程为(x－5)＋(y－2)＝17. 答案：(x－5)＋(y－2)＝17
3．(2019·扬州期末)若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则两平行直线l1，l2间的距离为________．
2
2
22
m－43
解析：法一：若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则有＝≠，求
1－24
得m＝2，故两平行直线l1，l2间的距离为
|8－3|2＋（－4）
2
＝2
5
. 2
m－43
法二：若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则有＝≠，求得m＝2，
1－24
所以直线l2：2x－4y＋3＝0，在l1：x－2y＋4＝0上取一点(0，2)，则两平行直线l1，l2间的距离就是点(0，2)到直线l2的距离，即
5 2
|0－4×2＋3|2＋（－4）
2
＝2
5
. 2
答案：
[方法技巧]
1．求直线方程的两种方法 直接法 待定 系数法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数 2．圆的方程的两种求法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和几何法 方程 代数法
考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆O：x＋y＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．
(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x＋y＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．
[解析] (1)设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得d1＝r－???2?2
2
2
2
2
2
2
?AB?CD?2AB?222226??，d＝r－??，由于AB＝CD，故d1＝d2，且d1＝d2＝OP＝，所以??＝r－d1＝16
22?2??2?
2
2
2
131911
－＝，得AB＝38，从而四边形ACBD的面积为S＝AB×CD＝×38×38＝19. 2222
(2)法一(几何法)：因为A(－4，0)，B(0，4)，所以直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程为x1x＋y1y＝4，PD的方程为x2x＋y2y
＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD??ax1＋（a＋4）y1＝4，
的方程，得?则直线
?ax2＋（a＋4）y2＝4，?
CD的方程为
??x＋y＝0，
ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以?所以直线CD过定点N(－1，1)，
?4－4y＝0，?
又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON为直径的圆的
?1??1?1因为A在该圆外，
方程为?x＋?＋?y－?＝，所以AM的最大值为
?2??2?2
＝32.
22
?－4＋1?＋?1?＋2???2?2???2?
22
法二(参数法)：同法一可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得
a＝
4－4y4x4－4y4x.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝.因为a＝＝，x＋yy－xx＋yy－x2
2
?1??1?1
所以点M的轨迹方程为?x＋?＋?y－?＝(除去原点)，因为A在该圆外，所以AM的最大
?2??2?2
值为 ?－4＋1?＋?1?＋2＝32. ???2?2???2?
22
[答案] (1)19 (2)32
[方法技巧]
解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．
(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．
[演练冲关]
1．(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x＋y＝1，圆C：(x－4)＋y＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)，圆心O，C到直线l的距离分别为d1，d2，则由直线l与圆O相交得d1＝
|km|
22
2
2
2
＜1，得m＜1
k＋1
2
（4k－km）km＋2.由直线l被两圆截得的弦长相等得1－d＝4－d，则d－d＝3，即－22
kk＋1k＋11
2
1
22
22
21
222
133133242
＝3，化简得m＝－2，则m＜－(m－1)，即3m＋8m－16＜0，所以－4＜m＜.
88k883
4??答案：?－4，? 3??
2．(2019·南京盐城一模)设M＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈M，过点P引圆(x＋1)＋
2
y2＝r2(r＞0)的两条切线PA，PB(A，B均为切点)，若∠APB的最大值为，则r的值为________．
解析：由题意知点P位于直线3x＋4y－7＝0上或其上方，记圆(x＋1)＋y＝r(r＞0)|－3－7|
的圆心为C，则C(－1，0)，C到直线3x＋4y－7＝0的距离d＝＝2，连接PC，则PC≥2.22
3＋4
2
2
2
π3
θrπrr1?θ?设∠APB＝θ，则sin＝，因为θmax＝，所以?sin?＝＝＝，所以r＝1.
2?maxPCmin222PC3?
答案：1
3．(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x＋y＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x1－x2＝
2
y22－y1，则实数m的值为________．
2
2
2
2
解析：由题意得C1(－m，2m＋3)，C2(－2，3)．由x1－x2＝y2－y1，得x1＋y1＝x2＋y2，即
22222222
OA＝OB，所以△OAB为等腰三角形，所以线段AB的垂直平分线经过原点O，又相交两圆的圆
心连线垂直平分公共弦AB，所以两圆的圆心连线C1C2过原点O，所以OC1∥OC2，所以－3m＝－2(2m＋3),
答案：－6
4．(2019·常州期末)过原点O的直线l与圆x＋y＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．
解析：易知A(－1，0)．因为PQ是圆O的直径，所以AP⊥AQ.以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，则AN⊥NQ，所以kAN＝－
1
2
2
解得m＝－6.
kNQ＝－1
kPO，又直线AN与直线AP的斜率之积等于
1，所以kANkAP＝1，所以kAP＝－kPO，所以∠OAP＝∠AOP，所以点P为OA的垂直平分线与圆O3??1
的交点，则P?－，±?，所以直线l的方程为y＝±3x.
2??2
答案：y＝±3x
5．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)＋(y－a)＝16上的两个动点，且AB＝211.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，
2
2
2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案
