专题三 解析几何
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析 1.直线与圆、圆与圆的位 本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017置关系(5年4考) 常考点 2.圆锥曲线的方程及几面积问题等;有时考查直线与圆(如2016年),经何性质(5年5考) 常与向量结合在一起命题. 偶考点
第一讲 | 小题考法——解析几何中的基本问题
考点(一) 直线、圆的方程 主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.
[题组练透]
4
1.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,
直线的方程、圆的方程 年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、大题考情分析 x则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.
4??解析:法一:由题意可设P?x0,x0+?(x0>0),则点P到直线x+y=0的距离d=x?
0
?
?x0+x0+4??2x0+4?2 ??x0?x0?????
2
=2
≥2x0·2
4
x0
4
=4,当且仅当2x0=,
x0
即x0=2时取等号.故所求最小值是4.
444?x,+x0?法二:设P?0(x0>0),由y=x+得y′=1-2,则曲线在点P处的切线的斜率?x0xx??444
为k=1-2.令1-2=-1,结合x0>0得x0=2,∴ P(2,32),曲线y=x+(x>0)上的
x0x0x点P到直线x+y=0的最短距离即为此时点P到直线x+y=0的距离,故dmin=4.
答案:4
|2+32|
=2
2.(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直
线x-2y-1=0上的圆的标准方程为________.
解析:法一:根据圆经过点A(1,3),B(4,6),知圆心在线段AB的垂直平分线上,由点A(1,3),B(4,6),知线段AB??x-2y-1=0,
的垂直平分线方程为x+y-7=0,则由?得
?x+y-7=0,?
??x=5,22?即圆心坐标为(5,2),所以圆的半径r=(5-1)+(2-3)=17,故圆的标准?y=2,?
方程为(x-5)+(y-2)=17.
法二:因为圆心在直线x-2y-1=0上,所以圆心坐标可设为(2a+1,a),又圆经过点
22
A(1,3),B(4,6),所以圆的半径 r=
2
2
(2a+1-1)+(a-3)=
2
2
22
(2a+1-4)+(a-6),解得a=2,所以r=17,故圆的标准方程为(x-5)+(y-2)=17.
法三:设圆心的坐标为(a,b),半径为r(r>0),因为圆心在直线x-2y-1=0上,且圆经过点A(1,3),B(4,6),
?? a-2b-1=0,
所以? 22222
?(a-1)+(b-3)=(a-4)+(b-6)=r,?
得a=5,b=2,r=17,故圆的标准方程为(x-5)+(y-2)=17. 答案:(x-5)+(y-2)=17
3.(2019·扬州期末)若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则两平行直线l1,l2间的距离为________.
2
2
22
m-43
解析:法一:若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则有=≠,求
1-24
得m=2,故两平行直线l1,l2间的距离为
|8-3|2+(-4)
2
=2
5
. 2
m-43
法二:若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则有=≠,求得m=2,
1-24
所以直线l2:2x-4y+3=0,在l1:x-2y+4=0上取一点(0,2),则两平行直线l1,l2间的距离就是点(0,2)到直线l2的距离,即
5 2
|0-4×2+3|2+(-4)
2
=2
5
. 2
答案:
[方法技巧]
1.求直线方程的两种方法 直接法 待定 系数法 选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中系数,写出结果 先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数 2.圆的方程的两种求法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和几何法 方程 代数法
考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程 主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系,以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆O:x+y=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ACBD的面积为________.
(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x+y=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为________.
[解析] (1)设O到AB的距离为d1,O到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d1=r-???2?2
2
2
2
2
2
2
?AB?CD?2AB?222226??,d=r-??,由于AB=CD,故d1=d2,且d1=d2=OP=,所以??=r-d1=16
22?2??2?
2
2
2
131911
-=,得AB=38,从而四边形ACBD的面积为S=AB×CD=×38×38=19. 2222
(2)法一(几何法):因为A(-4,0),B(0,4),所以直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),C(x1,y1),D(x2,y2),所以PC的方程为x1x+y1y=4,PD的方程为x2x+y2y
=4,将P(a,a+4)分别代入PC,PD??ax1+(a+4)y1=4,
的方程,得?则直线
?ax2+(a+4)y2=4,?
CD的方程为
??x+y=0,
ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,所以?所以直线CD过定点N(-1,1),
?4-4y=0,?
又因为OM⊥CD,所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点).又因为以ON为直径的圆的
?1??1?1因为A在该圆外,
方程为?x+?+?y-?=,所以AM的最大值为
?2??2?2
=32.
22
?-4+1?+?1?+2???2?2???2?
22
法二(参数法):同法一可知直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,得
a=
4-4y4x4-4y4x.又因为O,P,M三点共线,所以ay-(a+4)x=0,得a=.因为a==,x+yy-xx+yy-x2
2
?1??1?1
所以点M的轨迹方程为?x+?+?y-?=(除去原点),因为A在该圆外,所以AM的最大
?2??2?2
值为 ?-4+1?+?1?+2=32. ???2?2???2?
22
[答案] (1)19 (2)32
[方法技巧]
解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.
(2)解决直线与圆相关的最值问题:一是利用几何性质,如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值;二是建立函数或利用基本不等式求解.
(3)对于直线与圆中的存在性问题,可以利用所给几何条件和等式,得出动点轨迹,转化为直线与圆、圆与圆的位置关系.
[演练冲关]
1.(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x+y=1,圆C:(x-4)+y=4.若存在过点P(m,0)的直线l,直线l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是________.
解析:由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0),圆心O,C到直线l的距离分别为d1,d2,则由直线l与圆O相交得d1=
|km|
22
2
2
2
<1,得m<1
k+1
2
(4k-km)km+2.由直线l被两圆截得的弦长相等得1-d=4-d,则d-d=3,即-22
kk+1k+11
2
1
22
22
21
222
133133242
=3,化简得m=-2,则m<-(m-1),即3m+8m-16<0,所以-4<m<.
88k883
4??答案:?-4,? 3??
2.(2019·南京盐城一模)设M={(x,y)|3x+4y≥7},点P∈M,过点P引圆(x+1)+
2
y2=r2(r>0)的两条切线PA,PB(A,B均为切点),若∠APB的最大值为,则r的值为________.
解析:由题意知点P位于直线3x+4y-7=0上或其上方,记圆(x+1)+y=r(r>0)|-3-7|
的圆心为C,则C(-1,0),C到直线3x+4y-7=0的距离d==2,连接PC,则PC≥2.22
3+4
2
2
2
π3
θrπrr1?θ?设∠APB=θ,则sin=,因为θmax=,所以?sin?===,所以r=1.
2?maxPCmin222PC3?
答案:1
3.(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x+y+2mx-(4m+6)y-4=0(m∈R)与以C2(-2,3)为圆心的圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x1-x2=
2
y22-y1,则实数m的值为________.
2
2
2
2
解析:由题意得C1(-m,2m+3),C2(-2,3).由x1-x2=y2-y1,得x1+y1=x2+y2,即
22222222
OA=OB,所以△OAB为等腰三角形,所以线段AB的垂直平分线经过原点O,又相交两圆的圆
心连线垂直平分公共弦AB,所以两圆的圆心连线C1C2过原点O,所以OC1∥OC2,所以-3m=-2(2m+3),
答案:-6
4.(2019·常州期末)过原点O的直线l与圆x+y=1交于P,Q两点,点A是该圆与x轴负半轴的交点,以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N,且直线AN与直线AP的斜率之积等于1,那么直线l的方程为________.
解析:易知A(-1,0).因为PQ是圆O的直径,所以AP⊥AQ.以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N,则AN⊥NQ,所以kAN=-
1
2
2
解得m=-6.
kNQ=-1
kPO,又直线AN与直线AP的斜率之积等于
1,所以kANkAP=1,所以kAP=-kPO,所以∠OAP=∠AOP,所以点P为OA的垂直平分线与圆O3??1
的交点,则P?-,±?,所以直线l的方程为y=±3x.
2??2
答案:y=±3x
5.(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x+4)+(y-a)=16上的两个动点,且AB=211.若直线l:y=2x上存在唯一的一个点P,
2
2
2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案
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