行列式
1. 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等D?DT.
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.
推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.
abc如a?b?c??0 abc性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k乘此行列式.
a11如ka21a12ka22a32a13a33a11a31a12a22a32a13a23 a33ka23?ka21a31推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．
abc如a?b?c??0 kakbkc性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.
a11?如a21?a21a31a12?a22?a22a32a13a33a11a31a12a22a32a13a23a33??a21a23?a23a11??a21a31a12?a22a32a13? a23a33性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.
a11如a21a12a22a32a13a23?a33a11a21a31?ka11a12a22a32?ka12a13a23a33?ka13
a312. 余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij，Aij?(?1)i?jMij叫做元素aij的代数余子式．
a11如a21a12a22a32a13a31a23，元素a23的余子式为M23?a31a332?3a11a12a32a12a32，
元素a23的代数余子式为A23?(?1)M23??a11a31.
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3. 行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin或 D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj
?i?1,2,?,n;j?1,2?n?
a11如a21a12a22a32a13a23?a11A11?a12A12?a13A13 a33a31定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,或a1jA1j?a2jA2j???anjAnj?0,i?j.
?i?1,2,?,n;j?1,2?n?
4. 行列式的计算 （1）二阶行列式（2）三阶行列式
a11a21a12a22?a11a22?a12a21
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 a33?1（3）对角行列式
?1?2??na11??1?2??n，
?2??n?(?1)n(m?1)2?1?2??n
a11a22a12?a1na22?a2n（4）三角行列式
a21?an1?an2??ann???anna1n?a11a22?ann
a11a21?an1?a1,n?1a1n?a2,n?1??an1a2,n?1a2n?an2???ann?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1?an1
（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.
（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.
（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.
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矩阵
1. 常见矩阵
1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.
?a11?3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如?????a11?a21?4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如????an1a12?a22a1n??a2n?? ????ann???? ????ann?a22?an25）对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若AT?A，即aij?aji，则称A为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若AT??A，即aij??aji ，则称A为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A为ｎ阶方阵，如果AAT?E或ATA?E，则称A为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法
?ab如??dec??a?b????f??d?e?c???a?a?b?b????f???d?d?e?e?c?c??? f?f??注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；
② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如k??ab?dec??ka???f??kdkbkc??
kekf?注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.
（3）矩阵的乘法：设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n，规定AB?C?(cij)m?n, 其中cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??ak?1sikkjb(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n.)
注：①左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数；
②左矩阵A 的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素cij. ③左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即
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?a11a12?b11???b?a1s??21??a11b11?a12b21??a1sbs1
??????bs1?a11b12?a11b1s??a21b12?a21b1s? ????as1b12?as1b1s??1列矩阵乘行矩阵是s阶方阵，即
?a11??a11b11???a21???bb?b???a21b111s???1112?????a?s1??as1b113. 逆矩阵
设n阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且A（1）二阶方阵求逆，设A???B,B?1?A.
?ab?1*1?d?b??1A?A? ，则??（两调一除法）. ?Aad?bc??ca??cd??1?a1?（2）对角矩阵的逆???????????an?1?a1?1???a2?????????an??a2?1???， ????1?an?a2a1????????????a?1??1?a2?1an?1???. ?????1
?A1?（3）分块对角阵的逆???????????As?1?A1?1???A2?????????As??A2?1???; ???As?1??A2A1????????????A?1??1?A2?1As?1???. ????ERTE??????E（4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：?A4. 方阵的行列式
A?1?.
由ｎ阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式.记作A或det（A）. 5. 矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
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（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
?001??100??100???????如?010?,?0k0?,?010?都是初等矩阵. ?100??001??k01???????7. 矩阵的秩
矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩.记作R（A）或r（A）. 求矩阵的秩的方法：
（1）定义法：找出A中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A的秩.
（2）初等行变换法：A????行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论
（1）矩阵运算的公式及结论
ERTA?B?B?A,Ak1?Ak2?Ak1?k2,(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)C?AC?BC,(Ak1)k2?Ak1k2,B,EA?AE?A,(AB)C?A(BC),?(A?B)??A??B?(AB)?(?A)B?A(?B)Ek?E(?A)k??kAk,A0?ET
?AB?k?A?BA?k?1?AT??A,TT?(A?B)T?AT?BT,??A???AT,?AB?nT?BTAT
?A????AT?,AT?A,?AB???B?A?,AA??A?A?AEAn?A,A?B?A?B?A??nA,AB?AB?BA,矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB≠AB;
矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C.
一般地若AB=O，则无A=O或B=O.
2?A?B???A2?2AB?B2.
（2）逆矩阵的公式及定理
?A?1??A,?1??A??1?1?,A?1,?AB??1?B?1A?1,?AT???A?1??1TA?1?A?1,?1?A??An?1A?1??k1?A,AA??AA?1
?A???1??A?1?A,AA??A?1k?A可逆?|A|≠0?A～E（即A与单位矩阵E等价） （3）矩阵秩的公式及结论
R(O)?0,R(Am?n)?min{m,n},R(AT)?R(A),R(kA)?R(A),k?0A?0?R(A)?n,R?A?B??R?A??R?B?
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线性代数自考知识点汇总
